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Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Teorema 51 Para que se cumplan las propiedades formales y sem´ anti-
cas de la implicaci´ on debe ocurrir que f 1 > 0, f 2 > 0, f 3 = 0 y
f 4 = 0.

Demostraci´ on. La propiedad MP exige que la funci´ on f 4 = 0. En
efecto, si d ⇒ 0, donde d es un valor dial´ ectico, fuese una tesis, enton-
ces 0 tambi´ en lo ser´ ıa. Esto ocurre para todos los valores dial´ ecticos.
Si ocurriese f 3 6= 0, por ejemplo, que 1 ⇒ a fuera una tesis, en-
tonces MTE exige que Na ⇒ 0 tambi´ en lo sea, en contra del MP.
La propiedad ED exige que las expresiones tales como B ⇒ A,
donde A, B son m´ aximos, sean falsas. En efecto, si A ⇒ A y B ⇒ A
son tesis, entonces se concluye que A + B ⇒ A o sea 1 ⇒ A y por
MTE, N A ⇒ 0 en contra de f 4 = 0.
Si f 1 > 0 entonces 0 ⇒ x es una tesis, luego por MTE Nx ⇒ 1
tambi´ en es tesis y entonces f 2 > 0. Si f 2 > 0 tambi´ en ocurre f 1 > 0.
Consideremos dos m´ aximos A, B. De la tesis A ⇒ A se obtiene, por
IC, que tambi´ en es una tesis A ⇒ A + B = 1, luego est´ a demostrado.
Si f 2 = 0 entonces consideremos dos m´ aximos A, B, es claro que
A es una tesis, pero A ⇒ A + B = 1 no lo es, luego no se cumple IC.
Luego f 2 > 0 y tambi´ en f 1 > 0 porque si no lo fuera, tampoco lo ser´ ıa
f 2 .
En el Cuadro 28 se presenta la estructura general de la funci´ on im-
plicaci´ on x ⇒ y seg´ un lo ya demostrado. Como es visible s´ olo es nece-
sario determinar dos funciones de una variable y una de dos variables,
que deben cumplir con las propiedades formales de la implicaci´ on.

Cuadro 28: Tabla de verdad de la implicaci´ on gen´ erica en rDn.
⇒ 0 dial´ ecticos 1
0 1 f 1(y) 1
ecticos 0 · · · g(x, y) f 2(x)

dial´ · · ·

1 0 · · · 0 · · · 1

De las propiedades anteriores de las funciones f 1 , f 2 resulta que
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