Page 190 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

es necesario que la negaci´ on sea estricta. Una consecuencia importan-
te desde el punto de vista pr´ actico consiste en observar que para bus-
car sistem´ aticamente las funciones implicaci´ on basta con emplear, por
ejemplo, N 0 . La funci´ on as´ ı obtenida es v´ alida para toda otra negaci´ on
del reticulado por IR y las relaciones entre negaciones y rotaciones.

Teorema 53 La funci´ on implicaci´ on x ⇒ y definida es m´ onotona,
decreciente en x y creciente en y, para los valores dial´ ecticos.

Demostraci´ on. Consideremos solamente valores dial´ ecticos. Si z ≤
x, como x ≤ y se obtiene z ≤ y, luego z ⇒ y. En forma similar se
demuestra para y ≤ w.
Una consecuencia de este teorema permite obtener otras funciones
implicaci´ on con caracter´ ısticas similares a las de este teorema.

Teorema 54 Si en la definici´ on de implicaci´ on menor se reemplaza la
condici´ on 1) por “para x 6= 0, entonces para x ≤ y se define x ⇒ y =
y” tambi´ en se obtienen 4 funciones que cumplen con las propiedades
formales ID, EC, ED, PNN, T, MP, MTE, PC y con las propiedades
sem´ anticas PP, IR, I, PM. Se llaman implicaciones b´ asicas mayores.

Demostraci´ on. En la demostraci´ on anterior solamente aparece el
valor de la funci´ on implicaci´ on en la propiedad ID, luego todas las
dem´ as propiedades son v´ alidas. En el caso ID solamente se modifica
en la demostraci´ on el texto: “Si x ⇒ y = y se cumple x ≤ y ≤ x + y,
luego x ⇒ x + y = y es una tesis.”
En los reticulados Dn las implicaciones mayores y menores coinci-
den, no es as´ ı en los reticulados rDn de rango mayor que 1, tal como se
ve en lo que sigue.
Hay otras funciones implicaci´ on que no son ni las llamadas meno-
res o mayores, por ejemplo la presentada en el Cuadro 22: al no cum-
plir I no deriva de la relaci´ on de orden que exige esta condici´ on. Si no
se exige la condici´ on IR en D3 hay 4080 funciones implicaci´ on.
La tabla de verdad posee en forma parcial una tabla diagonal. Su-
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