Page 194 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Cuadrante d–d. Consideremos d j ⇒ d k . Aplicando MTE se ob-
tiene N d k ⇒ N d j = D k+1 ⇒ D j+1 = 0, luego d j ⇒ d k = 0
para todo j 6= k.

Cuadrante D–d. Supongamos que D 0 ⇒ d i sea una tesis. Apli-
cando MTE se tiene N d i ⇒ N D 0 = D i+1 ⇒ d 2 que tambi´ en
es tesis. Aplicando la rotaci´ on R 1−i a la primera implicaci´ on, se
obtiene R 1−i D 0 ⇒ R 1−i d i = D 2−i ⇒ d 2 que tambi´ en es
tesis. Por ED resulta D i+1 + D 2−i ⇒ d 2 que tambi´ en es te-
sis. Pera la suma de dos m´ aximos diferentes vale 1, luego para
i + 1 − (2 − i) = 2 i − 1 = ±1, ±3, ±5 · · · lo son. Para i = 0, 1
se obtiene 1 = D 2 + D 1 ⇒ d 2 = 0 y porque f 3 = 0, luego
la hip´ otesis de partida es falsa. En definitiva, D 0 ⇒ d 1 = 0 y
D 0 ⇒ D 0 = 0. Por rotaci´ on, D j ⇒ d j+1 = 0 y D j ⇒ d j = 0.
Para i = 2, −1 se obtiene D 0 ⇒ d 2 = 0 y D 0 ⇒ d −1 = 0 y por
rotaci´ on D j ⇒ d j+2 = 0 y D j ⇒ d j−1 = 0. Para i = 3, −2
se obtiene D 0 ⇒ d 3 = 0 y D 0 ⇒ d −2 = 0 y por rotaci´ on
D j ⇒ d j+3 = 0 y D j ⇒ d j−2 = 0 y as´ ı sucesivamente. Luego
todos los elementos verifican D j ⇒ d k = 0.

Cuadrante d–D. La demostraci´ on es similar al cuadrante ante-
rior. Supongamos que d 0 ⇒ D i sea una tesis. Aplicando MTE se
tiene d i+2 ⇒ D 1 que tambi´ en es una tesis. Aplicando la rotaci´ on
R 1−i a la primera implicaci´ on, se obtiene d 1−i ⇒ D 1 que tam-
bi´ en es una tesis. Por ED resulta d i+2 + d 1−i ⇒ D 1 que tambi´ en
es una tesis. Pero la suma de dos ´ atomos con ´ ındices separados 2
o m´ as, vale 1, lo que contradice f 3 = 0, luego la hip´ otesis de par-
tida es falsa. Luego para i + 2 − (1 − i) = 2 i + 1 = ±3, ±5, · · ·
lo son. Para i = 1, −2 se obtiene que d 0 ⇒ D 1 = 0 y d 0 ⇒
D −2 = 0. Para i = 2, −3 se obtiene que d 0 ⇒ D 2 = 0 y
d 0 ⇒ D −3 = 0 y as´ ı sucesivamente. Luego, por rotaci´ on son
nulos d i ⇒ D i+1 = 0, d i ⇒ D i+2 = 0 y similares. Tambi´ en
ocurre d i ⇒ D i−2 = 0, d i ⇒ D i−3 = 0 y similares. No se sabe
nada de d i ⇒ D i ni de d i ⇒ D i−1 .
Consideremos la tesis d i ⇒ d i , tambi´ en son tesis d i ⇒ d i +
d i+1 = D i y d i ⇒ d i + d i−1 = D i−1 . Luego estos dos casos son
tesis. Para cumplir con PM debe ocurrir que d i ⇒ D i valga o
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