Page 189 - Dialectica

La implicaci´ on

caso x = 0 se cumple por la definici´ on de f 1 .
PNN Si x es una tesis, NNx tambi´ en lo es, en el caso x = 1 por defi-
nici´ on de la negaci´ on y en el caso restante por el automorfismo
NN transforma un valor dial´ ectico en otro. El caso x = 0 carece
de sentido.

T La relaci´ on de orden en el reticulado posee la propiedad transiti-
va, luego si x ⇒ y y y ⇒ z son tesis, se cumple x ≤ y ≤ z luego
x ⇒ z es una tesis. El caso x = 0 cumple, por la definici´ on de
f 1 , 0 → y = y o sea 0 < y ≤ z y z es una tesis.
MTE Si x ⇒ y se cumple x ≤ y, luego Ny ≤ Nx por la definici´ on de
la negaci´ on, de donde resulta Ny ⇒ Nx. Si 0 ⇒ y, que es una
tesis por definici´ on de f 1 , se cumple que Ny ⇒ 1 por definici´ on
de f 2 . Si x ⇒ 1, que es una tesis por definici´ on de f 2 , se cumple
que 0 ⇒ Nx que es una tesis por definici´ on de f 1 .
PCE Si x ⇒ y y x ⇒ Ny son tesis, entonces si x = 0, cosa que puede
ocurrir por la definici´ on de f 1 , es claro que N0 = 1 es una tesis.
El caso x = 1 es imposible porque f 3 = 0. Si x posee un valor
dial´ ectico, entonces Nx es una tesis.
PP Forma parte de la definici´ on de la funci´ on implicaci´ on.

IR La funci´ on es invariable en la rotaci´ on porque tanto f 1 como f 2
y la relaci´ on x ≤ y lo son.
I Es claro que d ≤ d, luego d ⇒ d = d para todo valor dial´ ectico
d.
PM El principio de mezcla se cumple en algunos casos debido a que
d ⇒ d = d y las definiciones de f 1 y f 2 sin rotaci´ on de los
elementos.
Finalmente, como tenemos dos variantes posibles para f 1 , f 2 , hay 4
funciones definidas de estas manera. Este resultado es general para to-
dos los reticulados rDn. Con esto queda demostrado el teorema.
Es importante observar que este teorema vale tanto para las nega-
ciones comunes como para las negaciones ex´ oticas. En la demostraci´ on
solamente interviene la propiedad de monoton´ ıa y la propiedad que
la negaci´ on de un valor dial´ ectico es otro valor dial´ ectico. Tampoco
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