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Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Las implicaciones b´ asicas en rDn
En todo reticulado dial´ ectico rDn es posible encontrar funciones
implicaci´ on. En cada reticulado existe una manera natural de cons-
truir funciones implicaci´ on –que cumplen las propiedades sem´ anticas
y formales– mediante la relaci´ on del orden del reticulado (con la ex-
cepci´ on de los casos 0 ⇒ y).

Definici´ on 32 En un reticulado dial´ ectico L para dos elementos x, y se
definen implicaciones b´ asicas menores como: 1) para x 6= 0, entonces
para x ≤ y se define x ⇒ y = x; 2) para x y se define x ⇒ y = 0;
3) para los valores binarios se cumple con PP; 4) las funci´ on f 1 puede
ser y o 1 y f 2 pueden ser x o 1.

Esta definici´ on extiende la definici´ on cl´ asica, no en forma anal´ ıtica
sino en su concepto b´ asico: 0 ⇒ 0 = 1, 0 ⇒ 1 = 1, 1 ⇒ 1 = 1 y
1 ⇒ 0 = 0 es decir x ≤ y es verdadero y x y es falso.

Teorema 52 La funci´ on definida en 32 cumple con las propiedades
formales ID, EC, ED, PNN, T, MP, MTE, PC y con las propiedades
sem´ anticas PP, I, IR, y PM.

Demostraci´ on. Procedemos ordenadamente a demostrar cada una
de las propiedades, primero para x 6= 0 y luego para x = 0:

ID Si x ⇒ y = x se cumple x ≤ y ≤ x + y, luego x ⇒ x + y = x
es una tesis. Si 0 ⇒ y su valor es y por definici´ on de f 1 y es una
tesis. El caso y = 0 se cumple por definici´ on.

EC Si x . y es una tesis entonces x . y > 0 y se cumple x > 0 y y > 0,
luego ambas son tesis. El caso x = 0 carece de sentido.

MP Si x, x ⇒ y son tesis, se cumple 0 < x y x ≤ y, luego 0 < x ≤ y.
Entonces y es una tesis. El caso x = 0 carece de sentido.

ED Si x + y es una tesis y x ⇒ z, y ⇒ z, se cumple x ≤ z, y ≤ z,
luego x + y ≤ z o sea x + y ⇒ z. Por el MP z es una tesis. El
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