Page 209 - Dialectica

La dial´ ectica de los predicados

cuantificador vale 1 en los dem´ as casos.
Los cuantificadores amplios se comportan diferente respecto a la
propiedades del Teorema 59 tal como muestra el siguiente teorema.

Teorema 67 Para el cuantificador amplio se cumple, si p es una ins-
tancia de la variable u, que u F(u) ⇒ F(p), siempre que el cuanti-
ficador no valga 1.

Demostraci´ on. Sea d = u F(u). Si d = 0 el teorema es v´ alido en
forma trivial. Si 1 > d > 0 entonces se cumple que F(p) ≥ d por el
Teorema 65, luego se cumple la implicaci´ on. Si d = 1 hay casos en los
cuales no vale la expresi´ on, basta que F(p) sea 0 o dial´ ectico.

Teorema 68 Para el cuantificador amplio se cumple, si p es una
n
instancia de la variable u, que F(p) ⇒ u F(u), siempre que el
n
cuantificador no valga 0.

Demostraci´ on. Sea d = u F(u). Si d = 1 el teorema es v´ alido en
forma trivial. Si 1 > d > 0 entonces se cumple que F(p) ≤ d por el
Teorema 66, luego se cumple la implicaci´ on. Si d = 0 hay casos en los
cuales no vale la expresi´ on, basta que F(p) sea 1 o dial´ ectico.
En el Cuadro 36 se presentan las propiedades principales de los
cuantificadores dial´ ecticos analizados en estas ´ ultimas secciones.
Cuadro 36: Resumen de los cuantificadores dial´ ecticos.
∃ ∀
n
falso ∀i F(u i) = 0 ∃i F(u i) = 0 los dem´ as ca- ∃i F(u i) = 0
sos
tesis ∀i F(u i) ≤ d ∀i F(u i) ≥ d ∀i F(u i) ≥ d ∀i F(u i) ≤ d
d < 1 d > 0 d > 0 d < 1
verdadero ∃i F(u i) = 1 ∀i F(u i) = 1 ∃i F(u i) = 1 los dem´ as ca-
sos

del cuantificador. Esta demostraci´ on ilustra la manera de emplear la dualidad existente
entre y .
n
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