Page 207 - Dialectica

La dial´ ectica de los predicados

La vinculaci´ on entre las negaciones y ∗, ∗ n se traslada a los cuanti-
ficadores.

Teorema 63 Para todo cuantificador y toda negaci´ on N se cumple:
N u F(u) = u NF(u) y dualmente intercambiando y .
n n
An´ alogamente se cumple: N ∀u F(u) = ∃u NF(u) y dualmente in-
tercambiando ∀ y ∃.

Demostraci´ on. Consideremos la expresi´ on, que es v´ alida por la pro-
piedad asociativa de ∗,
N u F(u) = N(F(u 1 ) ∗ F(u 2 ) ∗ F(U 3 ) ∗ . . .)
= N(F(u 1 ) ∗ (F(u 2 ) ∗ F(U 3 ) ∗ . . .)) =
= NF(u 1 ) ∗ n N((F(u 2 ) ∗ F(U 3 ) ∗ . . .)) =
· · ·

= NF(u 1 ) ∗ n NF(u 2 ) ∗ n NF(U 3 ) ∗ n . . . = u NF(u)
n
Por recurrencia resulta demostrado el teorema. El caso dual se demues-
tra de la misma manera. En el caso de los cuantificadores cl´ asicos la de-
mostraci´ on es igual, reemplazando las funciones penetraci´ on por suma
y producto.
Las definiciones realizadas permiten investigar las propiedades b´ asi-
cas de los cuantificadores amplios por extensi´ on de las propiedades en
la l´ ogica binaria.

Teorema 64 La condici´ on necesaria y suficiente para que u F(u)
n
sea una tesis es que todos los valores F(u i ) sean tesis.

Demostraci´ on. Para que u F(u) = 0, alg´ un F(u i ) = 0. Luego,
n
para que el cuantificador sea una tesis todos los valores deben ser tesis.
Rec´ ıprocamente, si todos los valores son tesis, el resultado no es 0.
Este resultado muestra que el cuantificador se puede llamar
n
“universal”, extendiendo la noci´ on binaria de “verdadero” a “tesis” tal
como se realiza en la dial´ ectica.
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