Page 208 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

Teorema 65 La condici´ on necesaria y suficiente para el cuantificador
u F(u) valga 1 es que al menos una instancia i sea F(u i ) = 1.
La condici´ on necesaria y suficiente para que u F(u) sea un valor
dial´ ectico es que para todo i, F(u i ) ≥ d, donde d > 0 es un valor
tesis del reticulado. Equivalentemente, los valores de la funci´ on perte-
necen a un cono no trivial del reticulado. En los dem´ as casos vale 0.

Demostraci´ on. Como ocurre x ∗ 1 = 1 es claro que si una ins-
tancia de la funci´ on vale 1, el cuantificador vale 1. Rec´ ıprocamente, es
necesario que alguna instancia valga 1 para que el resultado sea 1. Es
claro que si para todo i se cumple F(u i ) ≥ d entonces, se cumple
d ≤ ∀u F(u) ≤ u F(u), Teorema 62, y el cuantificador es una tesis.
Rec´ ıprocamente, si u F(u) = d se cumple 0 < d < 1. Luego todo
F(u i ) 6= 1 y por lo tanto ocurre, ver Definicion 26, que ∀u F(u) =
u F(u) y se aplica el Teorema 57. El cuantificador vale 0 en los dem´ as
casos.
El cuantificador sim´ etrico cumple un teorema tambi´ en sim´ etrico.

Teorema 66 La condici´ on necesaria y suficiente para valga 0 es que al
menos una instancia i sea F(u i ) = 0. La condici´ on necesaria y su-
ficiente para que u F(u) sea un valor dial´ ectico es que para todo i,
F(u i ) ≤ d, donde d < 1 es un valor dial´ ectico del reticulado. Equiva-
lentemente, los valores de la funci´ on pertenecen a un cono invertido no
trivial del reticulado. En los dem´ as casos vale 1.

Demostraci´ on. Consideremos la funci´ on N −1 F(u) y el cuantifica-
dor u N −1 F(u) = N −1 u F(u) por el Teorema 63. Aplicando la
n
negaci´ on a la igualdad queda u F(u) = N u N −1 F(u). El Teore-
n
ma 65 permite demostrar las condiciones. Para que x = n u F(u) val-
ga 0, debe ocurrir que u N −1 F(u) valga 1, luego al menos una instan-
cia i de N −1 F(u i ) = 0 o sea, una instancia F(u i ) = 1. Para que el va-
lor del cuantificador sea dial´ ectico es que para todo i, N −1 F(u i ) ≥ d,
0
donde d > 0 es un valor tesis, o sea, F(u i ) ≤ N d = d < 1. 151 El
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El teorema se puede demostrar tambi´ en en forma directa a partir de la definici´ on
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