Page 203 - Dialectica

La dial´ ectica de los predicados

aplicaci´ on de las propiedades conmutativa, asociativa e idempotente.
Luego F(u i ) + d = d, o sea F(u i ) ≤ d < 1 y pertenece al cono in-
vertido de los elementos tales que x ≤ d como se deb´ ıa demostar. En
forma rec´ ıproca, si para todo i, F(u i ) ≤ d, donde d < 1 entonces
∀u F(u) ≥ d < 1 y es una tesis.
Esta definici´ on generaliza los cuantificadores de la l´ ogica binaria y
conserva la sem´ antica fundamental de la existencia y la universalidad
como demuestra el siguiente teorema.

Teorema 59 Para para los cuantificadores ∀, ∃ se cumple, si p es una
instancia de la variable u:

∀u F(u) ⇒ F(p) F(p) ⇒ ∃u F(u).

Demostraci´ on. Por la definici´ on de cuantificador, las propiedades
A, C y por la monoton´ ıa del producto resulta, para todo valor del reti-
culado
∀u F(u) = F(u 1 ) . · · · . F(p) . · · · ≤ F(p)
puesto que p es una de las instancias de la variable u. Luego ∀u F(u) ⇒
F(p) por la Definici´ on 32. En forma dual, se cumple

F(p) ≤ F(u 1 ) + · · · + F(p) + · · · = ∃u F(u)

Luego F(p) ⇒ ∃u F(u).

Los cuantificadores dial´ ecticos en general

La extensi´ on de la definici´ on de los cuantificadores cl´ asicos a los
reticulados de la l´ ogica dial´ ectica no solamente corresponde de la de-
finici´ on formal sino tambi´ en con las propiedades funcionales que se
esperaban. Desde punto de vista, as´ ı como se puede generalizar la im-
plicaci´ on, tambi´ en se generaliza la l´ ogica de predicados sin mayores
contratiempos. Sin embargo hay buenas razones para pensar que esta
manera de proceder deja muchos aspectos de la dial´ ectica de lado. He-
gel en su Ciencia de la L´ ogica [40] dedica un largo volumen a lo que
llama la “teor´ ıa del ser”. Por este solo hecho debemos estar advertidos
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