Page 202 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

El siguiente teorema analiza la conducta del cuantificador universal
en un reticulado dial´ ectico.

Teorema 57 La condici´ on necesaria y suficiente para que ∀u F(u) sea
0 es que alguna instancia de la funci´ on F(u) sea 0. La condici´ on nece-
saria y suficiente para que el cuantificador universal sea 1 es que todas
las instancias de la funci´ on sean 1. La condici´ on necesaria y suficiente
para que el cuantificador universal sea un valor dial´ ectico es que todos
los valores de la funci´ on pertenezcan a un cono de v´ ertice d > 0.

Demostraci´ on. Para que un producto sea 0 al menos un factor de-
be ser 0. Rec´ ıprocamente, si un factor es 0, el producto es nulo. Para
que un producto sea 1 es necesario que todos los factores sean 1 y esta
condici´ on es suficiente. Si ∀u F(u) = d es un valor dial´ ectico d > 0,
entonces todo valor F(u i ) verifica que F(u i ) . ( ∀u F(u)) = ∀u F(u)
por aplicaci´ on de las propiedades conmutativa, asociativa e idempo-
tente. Luego F(u i ) . d = d, o sea F(u i ) ≥ d y pertenece al cono de los
elementos tales que x ≥ d como se deb´ ıa demostar. En forma rec´ ıpro-
ca, si para todo i, F(u i ) ≥ d, donde d > 0 entonces ∀u F(u) ≥ d > 0
y es una tesis.
El siguiente teorema analiza al cuantificador existencial dial´ ectico.

Teorema 58 La condici´ on necesaria y suficiente para que ∃u F(u) sea
0 es que todas las instancias de la funci´ on F(u) sea 0. La condici´ on
necesaria y suficiente para que el cuantificador existencial sea 1 es que
alguna instancia de la funci´ on sea 1. La condici´ on necesaria y suficiente
para que el cuantificador existencial sea un valor dial´ ectico es que todos
los valores de la funci´ on pertenezcan a un cono invertido d < 1.

Demostraci´ on. 149 Para que una suma sea 0 todos los sumandos de-
ben ser 0 y rec´ ıprocamente. Para que una suma sea 1 basta que una
instancia de la funci´ on sea 1 y rec´ ıprocamente. Si ∃u F(u) = d es una
valor dial´ ectico d < 1, entonces F(u i ) + ∃u F(u) = ∃u F(u) por
149
Es posible realizar esta demostraci´ on por aplicaci´ on directa del Teorema 63.
202