Page 206 - Dialectica

Estudios sobre l´ ogica dial´ ectica

respectivamente a los obtenidos mediante las funciones penetraci´ on
amplia ∗, ∗ n .

Teorema 62 Para los cuantificadores y y toda funci´ on proposi-
n
cional se cumplen las siguientes relaciones:

∀u F(u) ≤ u F(u) ≤ ∃u F(u)

∀u F(u) ≤ u F(u) ≤ ∃u F(u)
n
extendidas a todos los valores de las variables materiales sobre las cuales
se cuantifica. La variable u puede representar a un conjunto de varia-
bles materiales u = (x, y, . . .).

Demostraci´ on. Las propiedades son inmediatas a partir de la mo-
noton´ ıa de las funciones involucradas. En efecto, consideremos el caso
de ∗, por definici´ on

u F(u) = F(u 1 ) ∗ F(u 2 ) ∗ F(u 3 ) ∗ · · ·

Es claro que se cumple, por la propiedad asociativa y por PB y PD

F(u 1 ) ∗ (F(u 2 ) ∗ F(u 3 ) ∗ · · · ) ≤ F(u 1 ) + (F(u 2 ) ∗ F(u 3 ) ∗ · · · )

Tambi´ en es claro que

F(u 2 ) ∗ (F(u 3 ) ∗ · · · ) ≤ F(u 2 ) + (F(u 3 ) ∗ · · · )

Aplicado estas desigualdades en forma reiterada, ocurre

F(u 1 ) ∗ F(u 2 ) ∗ F(u 3 ) ∗ · · · ≤ F(u 1 ) + F(u 2 ) + F(u 3 ) + · · ·

con lo cual queda demostrado u F(u) ≤ ∃u F(u). En forma dual se
demuestra, para el producto ∀u F(u) ≤ u F(u). Luego el teorema se
cumple para el cualificador . Las mismas relaciones se cumplen para
puesto que ∗ n cumple las mismas desigualdades que ∗, con lo cual
n
queda demostrado el teorema.
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