Page 205 - Dialectica
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La dial´ ectica de los predicados
Teorema 60 Los ´ unicos cuantificadores dial´ ecticos, no triviales, en el
reticulado binario B = D0 son los derivados de las funciones de las
variables conjunci´ on y disyunci´ on.
Demostraci´ on. La demostraci´ on se reduce a observar que las ´ unicas
funciones I, A, C, IR, de las 16 funciones posibles en este reticulado,
son las indicadas.
El Teorema 60 asegura la consistencia de las definiciones, pero to-
dav´ ıa deja demasiado terreno libre. 150
Teorema 61 Si consideramos un cuantificador y su operaci´ on de
composici´ on asociada , se cumple la propiedad
x (F(u) G(u)) = x F(u) x G(u)
Demostraci´ on, Es inmediata a partir de la propiedad asociativa y
conmutativa de la composici´ on .
En la definici´ on 35 se establece una clara conexi´ on entre las funcio-
nes penetraci´ on y los cuantificadores. El panorama de los cuantificado-
res queda ahora completamente definido. Existen tres grandes grupos
asociados a las ideas de del “ser” y estos conjuntos est´ an asociados a los
grandes grupos de funciones l´ ogicas: las operaciones b´ asicas del reticu-
lado y las penetraciones. Es natural, entonces, que existan dos familias
de cuantificadores dial´ ecticos, los cuantificadores amplios provenientes
de las penetraciones amplias y los cuantificadores estrictos, de las pene-
traciones estrictas. En lo que sigue se estudian estos casos.
Los cuantificadores dial´ ecticos amplios
En la simplificaci´ on que realiza la l´ ogica binaria se pierde entera-
mente un tipo de cuantificadores. Empleamos la notaci´ on ∀, ∃ con el
significado de la Definici´ on 34 para los cuantificadores cl´ asicos y ,
n
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As´ ı por ejemplo, en los reticulados Dn las funciones no triviales que posibles son
cuatro: la conjunci´ on, la disyunci´ on y las dos funciones penetraci´ on.
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