Page 97 - định lý hình học - hứa thuần phỏng

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHÙNG MINH 95

Ví dö 2.15.2
_
◦
G.T.: Cho đưíng tròn tâm O, ABC = 120 düng hai ti¸p tuy¸n qua A và C,
_
chúng c­t nhau t¤i D, düng đưíng tròn tâm P ti¸p xúc AD,CD và ABC.
K.L.: Chu vi cõa đưíng tròn tâm P b¬ng đë dài cõa cung ABC.

Suy xét: Gåi R là bán kính cõa đưíng tròn tâm O, ta có thº tính đưñc đë dài cõa
_
ABC. Ta düng ti¸p tuy¸n chung trong cõa hai đưíng tròn qua ti¸p điºm B, thì ta s³
1
đưñc ∆DEF đ·u, và suy ra PB = DB. M°t khác ∆AOB cũng là tam giác đ·u, nên
3
ta có thº chùng minh đưñc DB = DO = R, và tính đưñc bán kính PB cõa đưíng tròn
tâm P, rçi tính chu vi cõa đưíng tròn đó.

CHқ‰NG MINH
Nèi DO vì DO chia đôi D, nên ph£i đi qua P. Nèi AB, vì DO chia đôi AOC, nên
ƒ
b
◦
AOB = 60 , ∆AOB đ·u. Nhưng ∆AOD là tam giác vuông, nên BO = AD = BD.
ƒ
Düng ti¸p tuy¸n chung trong EF qua ti¸p điºm B, thì EF ⊥ DO, nên DE = DF.
◦
◦
Trong tù giác DAOG, có A = C = 90 ,O = 120 , nên D = 60 , và ∆DEF cũng là tam
b
b
b
◦ b
giác đ·u. Đ°t OA = OB = R, thì BD = R vì bán kính cõa đưíng tròn nëi ti¸p trong
1 1 1
mët tam giác đ·u b¬ng chi·u cao, nên PB = BD = R, chu vi cõa đưíng tròn tâm
3 3 3
1 2 _ 120
P là: 2π.PB = 2π R = πR. M°t khác, đë dài cõa ABC = .2πR. Vªy đë dài cõa
3 3 360
_
ABC b¬ng chu vi đưíng tròn tâm P. ä
Ví dö 2.15.3
G.T.: Cho b£y đưíng tròn có bán kính b¬ng nhau, ti¸p xúc nhau, và bà bao
trong mët hình vành khuyên (như hình) bi¸t r¬ng têng di»n tích cõa b£y hình
tròn b¬ng di»n tích hình vành khuyên.
K.L.: B· ngang cõa hình vành khuyên b¬ng bán kính đưíng tròn.

Suy xét: Gåi x là b· ngang (chi·u rëng) cõa hình vành khuyên r là bán kính cõa
méi đưíng tròn, thì bán kính lîn cõa hình vành khuyên b¬ng x +3r, bán kính nhä
b¬ng 3r, và ta có thº tính đưñc di»n tích cõa hình vành khuyên. M°t khác, tø r ta
cũng tính di»n tích cõa b£y hình tròn và theo ý cõa bài ra ta lªp phương trình.
N¸u gi£i phương trình đó mà đưñc x = r, thì chùng minh đưñc bài tªp.

CHқ‰NG MINH
Vì các ti¸p điºm đ·u n¬m trên đưíng nèi tâm, cho nên, n¸u gåi bán kính cõa các
đưíng tròn là r, b· ngang cõa hình vành khuyên là x, thì ta có bán kính lîn cõa
hình vành khuyên là x+3r, bán kính bé là 3r, di»n tích cõa hình vành khuyên là:

2
2
2
¡
π(x+3r) −π(3r) = π x +6rx ¢ (2.15.4)
2
M°t khác, ta có têng di»n tích cõa b£y hình tròn là 7πr , theo gi£ thi¸t, ta có phương

A
LT X sÕách hÕ¬nh hò»c
E