Page 343 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 343

"πάνω" από τη C f με εξαίρεση το σημείο επαφής τους.
 για κάθε x 0 εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει
f(x) f'(x 0) ( χ -x 0) + f(x 0)
με την ισότητα να ισχύει μόνο για χ = x 0.
Α π ό δ ε ι ξ η
Η εξίσωση της εφαπτομένης στο (x 0, f(x 0)) είναι:
y- f(x 0)= f'(x 0) ( χ -x 0)
f(x) y`f(x)-f(x 0) y-f(x 0)=f'(x 0) ( χ -x 0)`
f(x) f'(x 0) (χ-x 0)+f(x 0)

ΘΕΩΡΗΜΑ (ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑΣ)
Έστω μια συνάρτηση f είναι σ υ ν ε χ ή ς σ'ενα διάστημα Δ
και δύο φορές παραγωγίσιμη στο ε σ ω τ ε ρ ι κ ό του Δ.
 Αν για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, ισχύει f ’’ ( x ) > 0,
τότε η f είναι κ υ ρ τ ή στο Δ.

 Αν για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, ισχύει f ’’ ( x ) < 0,
τότε η f είναι κ ο 'ι λ η στο Δ.
 Αν για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, ισχύει f ’’ ( x ) = 0,
τότε η f δ ε ν στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω ή κά τ ω στο
Δ.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

 Στο διπλανό σχήμα:
 Η συνάρτηση f είναι κ ο ίλ η

στο διάστημα (- , χ 0)

αφού f''(x)<0
 Η συνάρτηση f είναι κ υ ρ -

τή στο διάστημα (χ 0, + )

αφού f''(x)>0

 Αν μία συνάρτηση f είναι
συνεχής στο διάστημα Δ

και ισχύει ότι:

 f''(x) 0, για κάθε εσωτε-

ρικό σημείο του Δ, με την ισότητα να ισχύει για μεμονωμέ-
νες τιμές του χ, η συνάρτηση f είναι κ ο ίλ η στο διάστημα Δ.

 f''(x) 0, για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, με την ισότητα

να ισχύει για μεμονωμένες τιμές του χ, η συνάρτηση f είναι

κυρτή στο διάστημα Δ.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017