Page 344 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 344

 Το αντίστροφο του θεωρή-
ματος δεν ισχύει.
Παράδειγμα (σχήμα δίπλα)
Έστω η συνάρτηση
f(χ)=χ
4
 f'(x)=4χ γνησίως α ύ -
3
ξουσα στο , συνεπώς η
f είναι κυρτή στο .
 f''(0)=0, δηλαδή η f''(x)
δεν είναι θετική για κάθε

εσωτερικό σημείο του .

 Σε ένωση δ ι αστημάτων, γενικά δεν διατηρείται η κυρτότητα.

 Αν f''(x) 0, για κάθε εσωτερικό σημείο Δ, τότε η συνάρτηση
f δεν παρουσιάζει καμπή στο Δ.

 Αν f'' διατηρεί π ρ όσημο σε ένα διάστημα εκτός α π ό πεπερα-
σ μ ένο πλήθος σημείων
 στα οποία μηδενίζεται
 στα οποία είναι συνεχής
 τα οποία δεν σχηματίζουν διάστημα τότε η f διατηρεί το
ίδιο είδος κυρτότητας σε όλο το διάστημα.

 Σε συναρτήσεις πολλαπλού τύπου, προκειμένου να μελετή-
σουμε τη κυρτότητα, δεν είναι απαραίτητο να είναι δύο φ ο -
ρές παραγωγίσιμες, αρκεί να είναι μία φορά παραγωγίσιμες
(ενδιαφέρει η παραγωγισιμότητα της πρώτης παραγώγου).

ΟΡΙΣΜΟΣ
Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ενα διάστημα (α, β),

εκτός ίσως ενός σημείου του x 0 .
Το σημείο Α(x 0 ,f(x 0 )) λέγεται σ η μ ε ί ο κ α μ π ή ς της
γ ρ αφικής παράστασης της f, αν

 Η f στρέφει τα κοίλα προς τα πάνω (κάτω) στο (α, x 0 ) και
προς τα κάτ ω (πάνω) στο διάστημα (x 0 ,β).
 Υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f
στο σημείο Α(x 0 , f(x 0 )), που μπορεί να είναι και κατακό-
ρυφη.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017