Page 385 - diaforikos

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 - Διαφορικός Λογισμός 385

4. ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ (ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ)
ημχ
Για τη συνάρτηση f με τύπο: f(x)= χ + χ 3 , να δείξετε ότι
α) η ευθεία ε:y=x είναι ασύμπτωτη της C f στο - και +

β) να αποδείξετε ότι η C f και η ευθεία (ε) έχουν άπειρα κοι-
νά σημεία.

● Πεδίο ορισμού : Α= *
α )
● Είναι στο -

ημχ
f(x) χ+ χ 3
● lim = lim
x - x -
ημχ
= lim 1+ 1
x - χ 4
● lim [ f(x)- ]
x -
ημχ
= lim χ+
x - χ 3
ημχ
= lim 0
x - χ 3
Έτσι η ευθεία y=x είναι ασύμπτωτη της C f στο -

● Είναι στο +
ημχ
f(x) χ+ χ 3 ημχ
● lim = lim = lim 1+ 1
x + x + x + χ 4

ημχ ημχ
● lim [f(x)- ]= lim χ+ = lim 0
x + x + χ 3 x + χ 3
Έτσι η ευθεία y=x είναι ασύμπτωτη της C f στο +

β)
Για να βρούμε τα κοινά σημεία της C f και της ευθείας με εξί-

σωση y=x, λύνουμε το σύστημα
ημχ ημχ 2κπ
f(x)= y`χ+ = x` = 0` ημχ= 0` χ= , κ
χ 3 χ 3 (2κ+1)π

Συνεπώς
η C f και η ευθεία (ε) έχουν άπειρα κοινά σημεία.

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017