Page 110 - chapter 1

110
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

Έστω οτι η f - 1 δεν είναι
γνησίως αύξουσα στο f(A),
συνεπώς θα υπάρχουν

y 1, y 2 f(A) με
y 1 y 2
f (y ) f (y )
1
1
1 2
f y y
~ 1 2
1
1
f(f (y )) f (f (y ))
2
1
f(f 1 (y)) y y 1 y 2
~ , ατοπο
για καθε y f(A) y 1 y 2
και η f - 1 είναι γνησίως α ύ -
ξουσα στο f(A).

● Ανάλογα, δείχνουμε ... η f - 1 γνησίως φθίνουσα ...

2.
Αν μία συνάρτηση f:Α είναι γνησίως αύξουσα στο διά-
στημα Α, να αποδείξετε οτι η εξίσωση f(x)=f - 1 (x) είναι ι-
σοδύναμη με την εξίσωση f(x)=x.

ΑΠΟΔΕΙΞΗ

● Aν ρ Α είναι μία ρίζα της
f(x)=f - 1 (x), τότε
f(ρ)=f - 1 (ρ) και αρκεί να
δ ε ίξουμε οτι ισχύει
f(ρ)=ρ
● Έστω f(ρ)>ρ

(όμοια f(ρ)<ρ) με
ρ Α, ρ f(Α) και f(ρ) Α
f(ρ) f 1 (ρ)
f(ρ)> ρ ~ f (ρ)> ρ
1
f
~ f f (ρ))>( 1 f(ρ)

f(f 1 (ρ))
~ ρ> f(ρ)
για κάθε ρ f(A)
άτοπο

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017