Page 119 - chapter 1

119
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

5. AΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ (ΠΆΡΑΜΕΤΡΟΣ)
Δίνεται η συνάρτηση f: με τύπ ο
αx-β , x 1
2
f(x)= α,β *
2
βx-α , x 1
Να βρείτε τη συνθήκη μεταξύ των παραμέτρων α και β,
ώστε η συνάρτηση f να είναι αντιστρέψιμη.

Το πεδίο ορισμού της f εί-
ναι:Α=
● Για x 1
2
η συνάρτηση α χ -β είναι
γνησίως αύξουσα, οπό-
τ ε η συνάρτηση f είναι
"1-1" για κάθε χ [1, + )
Είναι διαδοχικά
y= α χ -β ` αχ = y + β
2
2
y 2
` x=
αφού x 1 πρέπει

y 2
1` y + β α
2
` y α - β
2
δηλαδή, f(A 1)=(- , α - β ) (1)
2
● Για x > 1
η συνάρτηση β χ -α είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η συνάρ-
2
τηση f είναι "1-1" για κάθε χ (- , 1)
Είναι διαδοχικά
y 2
y= βχ-α ` βχ = y + α ` x=
2
2
y 2
αφού x > 1 πρέπει: > 1` y + α > β` y > β - α
2
2
2
δηλαδή, f(A 2)=(β - α , + ) (2)
Για να είναι η f αντιστρέψιμη πρέπει να είναι '1-1" και να ισχύει
2
2
f(A 1) f(A 2)= ` (- , α - β ) (β - α , + )=
` α - β < β - α `α - β -β + α <0
2
2
2
2
`(α-β)+(α-β)(α+β)
`(α-β)(1+α+β)<0 (1+α+β>0)
`α-β<0`α<β

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017