Page 116 - chapter 1

116
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Όρια - Συνέχεια Συνάρτησης

2. AΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
lnx , 0< x< 1
Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f(x)=
x-1 , x 1
Να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση, αν υπάρχει, της f.

● Για 0 < x < 1
η συνάρτηση lnx είναι
γνησίως α ύ ξουσα, οπό-
τε η συνάρτηση f είναι
"1-1" για κάθε χ (0, 1)
Είναι διαδοχικά
y=lnx
x=e
y
πρέπει
0< e <1` e < e
y
y
0
`y<0
δηλαδή
f(A 1)=(- , 0) (1)

● Για x 1
f(x )= f(x )` x -1= x -1
1
2
2
1
x 1
` x -1= x -1
1
2
`x = x 2
1
η συνάρτηση f είναι "1-1" για κάθε χ [1, + )
Έχουμε διαδοχικά
y= x-1) πρέπει y 0, δηλαδή f(A 2)= [0, + ) (2) αφού
x-1 0

y =x-1
2
2
2
x=y +1 πρέπει y +1 1` y 2 0, που αληθεύει για κάθε
y
Επειδή
f(A 1) f(A 2)= (- , 0) [0, + )=
Άρα η συνάρτηση f είναι "1-1" στο πεδίο ορισμού της, οπότε
αντιστρέφεται και

e x x< 0
f (x)=
- 1
x 2 +1 x 0

Τακης Τσακαλακος Κερκυρα 2017