Page 145 - основы милогии 1999

bi.iHi-D М.И. “(tawwMWiT. 1999 юд. <■ 1-1?
6.9. БАЗИСНЫЕ ФУНКЦИИ ИЕРАРХИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
Теперь наша задача заключается в том, чтобы путем последовательного использования
оператора дифференцирования определить некоторый базисный набор функций е“, такой,
чтобы линейный оператор дифференцирования имел бы простой спектр. Рассмотрим функцию
е'Ах. При последовательном дифференцировании и суммировании этой функции мы получим
Р Д elAx(L4x - А2х? - iAfx3 + Л4х4 +...) (6.9-1)

Обратная операция, интегрирование, дает
eiATx(iATx-Ar2x2 -iA^x3 + Аг4х4 + ...) (6 9'2)

где Ат - транспонированная матрица А.
Здесь функция eiAx является собственным вектором оператора дифференцирования
(интегрирования), а выражения в скобках- суть их собственные значения.
Все эти собственные значения различны. Следовательно, для того, чтобы спектр
дифференцирования (интегрирования) имел простой спектр (при некоторых начальных
условиях), необходимо, чтобы собственные векторы были линейно независимыми.
Выше мы уже отмечали, что выбор длины собственного вектора определяется
неоднозначно, но экспоненциальные функции обладают свойством естественной нормировки
собственных векторов. Однако и в этом случае выбор длины все еще не однозначен. Так, если
ек - собственный вектор, то е‘хек - также собственный вектор.
Если в иерархическом функциональном пространстве .f' функция е‘х играет роль
базисной функции, т.е. базис иерархического пространства должен состоять из некоторого
набора функций вида е'х , то этот набор должен быть ограниченным. Это может означать, что
неоднозначность собственных векторов можно еще уменьшить, если нам известен уровень
иерархии собственного вектора этого пространства.
Попытаемся построить базис функционального иерархического пространства
используя функции вида
е'х, е ‘х,-е‘х ,-е 'х (6.9-3)
Рассмотрим некоторые особенности этих функций, используя разложение этих функций в ряды
е“ = cos х +1 sin х = 1 + ix - (х2/2!) - (ix3/3!) + (х4/4!) + (ix5/5!) -...
-е'х = - cos х -I sin х = -1 - ix + (x2/2!) + (ix3/3!) - (x4/4!) - (ix3/5) + ... (6.9-4)
e’“= cosx-Isinx= 1 - ix -(x2/2!) + (ix3/3!) + (x4/4!) - (ix5/5!)-...
-e-ix= - cos x +1 sin x = -1 + ix + (x2/2!) - (ix3/3!) - (x4/4!) + (ix5/5!) + ...
При некотором фиксированном x мы получим в комплексной плоскости
упорядоченную последовательность значений членов этих разложений. Соединяя
последовательно полученные точки на плоскости, мы получим семейства спиралей (рис.6.9-
1). Эти ряды обладают замечательной особенностью, которая заключается в том, что если
члены ряда изобразить в комплексной плоскости, то мы получим семейство спиралей. Для
положительных функций (е'х и e ix) эти спирали будут раскручивающимися. Для отрицательных
функций функций (-е‘х и -е'х) спираль будет закручивающейся.
Группируя полученные функции в соответствии с их “спиральностью”, мы получаем
всего две группы функций - одна с правой “спиральностью”, другая - с левой. В каждой группе,
состоящей из двух функций, одна функция от другой сдвинута на угол Л.
Из рисунка 6.9-1 видно, что противоположные элементы имеют одно и тоже направление
“вращения”, но сдвинутых по фазе, а обратные функции имеют противоположную
спиральность.
Используя элементарные преобразования, получим теперь для функции е|х
следующую формулу- “экспоненциальную волну”:
е'х= eix/2 eix72=(cos x/2 +1 sin x/2) eix/2= eix/2 cos х/2+i eix/2 sin x/2