Page 43 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

B. SUBRUANG

Diketahui ruang vektor V, ⊆ , W disebut sub ruang dari V jika dan hanya
jika W itu sendiri merupakan ruang vektor di bawah penambahan dan perkalian

skalar yang didefinisikan pada V.

⊆ , W disebut sub ruang dari V jika dan hanya jika:

• Jika u dan v adalah vektor di W, maka u + v berada di W

• Jika k adalah skalar dan u adalah vektor di W, maka ku berada di W.

Contoh :
Didefinisikan W = {( , 0) | ∈ ℝ}. Periksa apakah W subruang dari ℝ 2

2
Berdasarkan definisi himpunan W, jelas bahwa W himpunan bagian dari ℝ .
Selain itu, terdapat (0,0) ∈ W sehingga W bukan himpunan kosong.
Diambil sembarang skalar k dan v, w ∈ W . Tulis = ( , 0) dan =

( , 0) untuk suatu , ∈ ℝ.

Akan ditunjukkan v + kw ∈ W . Peerhatikan bahwa
+ = ( , 0) + ( , 0)

= ( , 0) + ( , 0)

= ( + , 0)
Karena , ∈ ℝ dan k adalah skalar, maka + ∈ ℝ. Akibatnya, W adalah

2.
subruang dari ℝ

C. KOMBINASI LINEAR

Jika w adalah vektor di V, maka w dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linear dari vektor-vektor v1, v2, …., vr apabila w dapat dinyatakan sebagai w

= k1v1 + k2v2 + …. + krvr yang dalam hal ini k1, k2, …, kr adalah skalar.

Teorema: Jika S = {w1, w2, …, wr} adalah himpunan vektor-vektor di ruang
vektor V, maka

• Himpunan W yang berisi semua kombinasi linear vektor-vektor di dalam S

adalah subruang dari V

38 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r