Page 47 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

Misalkan 1 = (3, 1, −4), 2 = (2, 5, 6), 3 = (1, 4, 8). Tunjukkan
3
bahwa himpunan = {v1, v2, v3} bebas linear dan merentang ℝ , sehingga
3
merupakan basis dari ℝ .

Buktikan terlebih dahulu bebas linear, perlu ditunjukkan bahwa persamaan
vektor

c1v1 + c2v2 + c3v3 = 0 … (1)

hanya memiliki solusi trivial. Sedangkan untuk membuktikan S merentang

3
3
ℝ , perlu ditunjukkan bahwa untuk setiap b = ( 1, 2, 3) ∈ ℝ . Persamaan
vektor berikut mempunyai solusi (konsisten).

k1v1 + k2v2 + k3v3 = b … (2)

Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh dua sistem persamaan linear, yaitu

3c1 + 2c2 + c3 = 0 3c1 + 2c2 + c3 = b1

c1 + 5c2 + 4c3 = 0 dan c1 + 5c2 + 4c3 = b2

-4c1 + 6c2 + 8c3 = 0 -4c1 + 6c2 + 8c3 = b3

3 2 1
Keduanya memiliki matriks koefisien yang sama, yaitu = [ 1 5 4]
−4 6 8

Karena det(A) = 26 ≠ 0, maka SPL pertama hanya mempunyai solusi trivial
dan SPL kedua konsisten untuk seetiap nilai b1, b2, b3. Dengan kata lain,

3
himupunan S bebas linear dan merentang ℝ . Jadi, S merupakan basis dari
3
ℝ .

G. RUANG BARIS, RUANG KOLOM, DAN RUANG

NOL

Jika A adalah matriks × , setiap baris dari A adalah n-tupel bilangan real

dan karenanya dapat dianggap sebagai vektor dalam 1× . vektor yang
berhubungan dengan baris A akan disebut sebagai vektor baris A. Demikian

pula, setiap kolom A dapat dianggap sebagai vektor dalam , dan kita dapat
mengaitkan n vektor kolom dengan matriks A.

42 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r