Page 51 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

2. Definisikan operasi * pada ruang V = {f : S → F, f adalah fungsi} semua fungsi
dari himpunan S ke lapangan F sebagai (f * g)(s) = f(s)g(s). Maka V adalah

ruang vektor komposisi kesatuan di atas F, dimana fungsi 1 : S → F

didefinisikan oleh 1(s) = 1F, untuk setiap s ∈ S, adalah identitasnya.
3. Himpunan C( ℝ ) dari semua fungsi kontinu nyata pada ℝ adalah ruang vektor

komposisi kesatuan dengan jumlah, komposisi, dan hasil kali skalar dari
fungsi-fungsi tersebut. Jelas bahwa setiap sifat ruang vektor komposisi kiri

berlaku juga untuk ruang vektor komposisi kanan. Jadi, hanya akan

mempertimbangkan yang kiri dan ruang vektor komposisi berarti ruang vektor
komposisi kiri.

Bukti : Jika (V, +, ·, *, F) merupakan ruang vektor komposisi, maka ruang
(L(V), +L, ·L, *L, F) semua operator pada V merupakan vektor komposisi ruang

juga, di mana f *L g : V → V didefinisikan oleh (f *L g)(x) = f(x)*g(x), untuk

semua f , g ∈ L(V). Selain itu, jika I adalah identitas kiri (kanan) dari V, maka
IL : V → V, didefinisikan oleh IL(x) = I, adalah identitas kiri (kanan) dari L(V).

Kondisi dalam Definisi 1 semuanya terpenuhi untuk ruang L(V)

Definisi 2 :

Misalkan V adalah sebuah ruang vektor komposisi. Maka sebuah elemen x ∈

V disebut sebuah konstanta kiri (kanan), jika x ∗ y = x (masing-masing y ∗ x =

x), untuk semua y ∈ V. Jika W ⊆ V, maka himpunan semua konstanta kiri

(kanan) di W disebut basis kiri (kanan) dari W dan dilambangkan dengan
LF(W) (masing-masing RF(W)). Elemen x dikatakan sebagai konstanta jika

merupakan konstanta kiri dan kanan, sedangkan F(W) adalah himpunan
semua konstanta dari W.

Contoh:
1. Jika x adalah konstanta ruang vektor komposisi V, maka fungsi f : V → V,

didefinisikan oleh f(t) = x untuk semua t ∈ V, adalah konstanta ruang vektor
komposisi L(V).

Diasumsikan bahwa V adalah ruang vektor komposisi di atas F. Subruang W
dari V disebut subruang komposisi jika tertutup dalam omposisi. Dalam hal

c
ini, W ≤ V .

46 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r