Page 52 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

R
2. Himpunan R semua fungsi dari R ke R adalah ruang vektor komposisi di
bawah jumlah, hasil kali skalar (yaitu, (f · g)(t) = f(t) · g(t)) dan komposisi

R
fungsi. Misalkan W = {f ∈ R | f(-1) = 0}. Maka W merupakan subruang dari
R
R , namun bukan merupakan subruang komposisi, karena (f + cg)(-1) = 0,
sedangkan (f * g)(-1) = f(g(-1)) = f (0), yang tidak selalu 0, untuk semua f, g ∈

R
R dan c ∈ R.

Definisi 3 :

Misalkan V adalah ruang vektor komposisi dan W adalah subruang dari

LF(V). Kita katakan bahwa x * V adalah elemen sisa modulo W jika x * LF(V)
* W. Himpunan semua elemen sisa modulo W dilambangkan dengan VW, yaitu

VW = {x * V | x * y * W, *y * LF(V)}.

Contoh:
Misalkan V adalah suatu ruang vektor komposisi dan W adalah subruang dari

LF(V), yaitu W≤ LF(V). Maka, pernyataan berikut ini berlaku
(1) VW ≤ V

c
c
(2) Jika W ≤ V, maka VW ≤ V
(3) x * y ∈ VW, untuk semua x ∈ VW dan y ∈ V
(4) VW ∩ LF(V) = W

(5) VW adalah subruang terbesar dari V yang memenuhi kondisi (3) dan (4)
Bukti : (1), (2) Sangat mudah untuk melihat bahwa VW ditutup di bawah

operasi V.

(3) Untuk semua z ∈ LF(V) kita mempunyai y * z ∈ LF(V), karena (y *z) * t
= y * (z * t) = y * z, untuk semua t ∈ V. Oleh karena itu (x * y) * z = x * (y *

z) ∈ W. Maka x * y ∈ VW.

(4) Jika x ∈ VW ∩ LF(V), maka x = x * 0 ∈ W, dengan kondisi (1) dan (3).
Sekarang jika x ∈ W⊆ LF(V), maka x * y = x ∈ W untuk semua y ∈ LF(V),

yaitu x ∈ VW ∩ LF(V).

(5) Misalkan U adalah subruang dari V sehingga U∩ LF(V) = W dan x * y ∈
U untuk semua x ∈ U dan y ∈ V. Maka untuk sembarang u ∈ U dan t ∈ LF(V),

u * t ∈ U ∩ LF(V) = W, yang berarti u * ∈ VW.

47 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r