Page 55 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER
P. 55
Misalkan A adalah matriks × , maka vector x yang tidak nol di disebut
vector eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu = untuk
suatu skalar . Skalar dinamakan nilai eigen dari A.
Teorema :
Jika A adalah suatu matriks × dan adalah suatu bilangan real, maka
pernyataan-pernyataan berikut ini adalah ekuivalen
a. adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
b. Sistem persamaan ( − ) = 0 mempunyai penyelesaian tak trivial (non
trivial).
c. Ada vector x yang tidak nol dalam sedemikian sehingga = .
d. adalah suatu penyelesaian real dari persamaan karakteristik det ( − ) =
0
Bukti:
Kita akan memperlihatkan bahwa a,b,c, dan d ekuivalen satu sama lainnya
dengan membuktikan urutan implikasi ⟹ ⟹ ⟹ ⟹
⟹ : Karena adalah nilai-nilai eigen dari matriks A, maka menurut definisi
nilai eigen berlaku:
= dengan x tak nol
⟺ ( − ) = 0
⟹ : Karena ( − ) = 0 maka
⟺ =
⟺ =
⟹ : Karena =
⟺ =
⟺ ( − ) = 0
Karena ada x tidak nol, maka sistem persamaan linear homogen ( − ) = 0
haruslah det ( − ) = 0 dengan adalah suatu penyelesain
linearnya.
50 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r
