Page 50 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

H. RUANG VEKTOR KOMPOSISI

Ruang vektor komposisi merupakan generalisasi dari ruang vektor yang

memperkenalkan operasi komposisi yang terkait dengan operasi ruang vektor.
Konsep ini melibatkan transformasi linear komposisi, homomorfisme grup,

dan operator linear dalam konteks aljabar tri-operasional. Beberapa sifat dasar

ruang vektor komposisi, seperti subruang komposisi, elemen sisa, struktur
hasil bagi, subruang maksimal, dan orbit utama juga dibahas. Terdapat

korespondensi antara ruang vektor komposisi dan operator linear, dengan
contoh-contoh seperti ruang vektor komposisi kesatuan, nol, siku-siku, serta

konstanta kiri dan kanan dalam ruang vektor komposisi.

Definisi 1 :

Misalkan F adalah sebuah lapangan dan (V, +, -, F) sebuah ruang vektor atas
F, sehingga - adalah sebuah operasi yang didefinisikan sebagai : F × V -→ V.

Sebuah struktur aljabar (V, +, ∗, -, F) dikatakan sebagai ruang vektor
komposisi kiri atas F, jika (V, ∗) adalah sebuah semigrup dan kondisi-kondisi

berikut ini berlaku, untuk semua x, y, z ∈ V dan a ∈ F:

(1) (x + y) ∗ z = (x ∗ z) + (y ∗ z);
(2) (a - x) ∗ y = a - (x ∗ y).

Jika x ∗ (y + z) = (x ∗ y) + (x ∗ z) dan x ∗ (a - y) = a - (x ∗ y) berlaku, maka (V,

+, ∗, -, F) adalah disebut ruang vektor komposisi kanan atas F.

Contoh:
1. Perhatikan ruang vektor (V, +, ·, F) pada bidang F

(1) V adalah ruang vektor komposisi kiri dan kanan, bila operasi * didefinisikan

oleh x * y = 0, untuk semua x, y ∈ V. Dalam hal ini, V disebut ruang vektor
komposisi nol. Jelas tidak ada identitasnya.

(2) Untuk semua x, y ∈ V, tentukan x * y = x (masing-masing, x * y = y). Maka V

adalah ruang vektor komposisi kiri (masing-masing kanan) di atas F.
Perhatikan bahwa V bukanlah kesatuan kiri (masing-masing kanan), kecuali V

= {0}, sedangkan setiap vektor dari V merupakan identitas kanan (kiri).
(3) Anggap (L(V), +, ·, F) sebagai ruang vektor semua operator linear di V dan

tentukan * sebagai komposisi operator linear. Maka L(V) merupakan ruang
vektor komposisi kesatuan.

45 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r