Page 68 - (EDIT) PENGANTAR ALJABAR LINIER

⚫ u, v = v, u (aksioma simetri)
⚫ u + v, w = u, w + v, w (aksioma penjumlahan)

⚫ k u, v = k u, v (aksioma kehomogenan)

⚫ u, u  0 (sifat kepositifan)

⚫ dan u, u = 0 jika dan hanya jika u = 0

Catatan: Ruang vektor yang dilengkapi dengan Hasil Kali Dalam
(HKD) disebut ruang hasil kali dalam

⚫ Diberikan ruang vektor Rn . Misalkan u=(u1 , u2 ,…, un ), v=(v1 ,v2 ,…,
vn ) di Rn . Fungsi< , > : Rn x Rn R dengan < u , v >=u1 v1+ u2 v2 +…+

un vn merupakan suatu HKD ( HKD Euclid standar ).

⚫ Misalkan w1 ,w2 ,…,wn adalah bilangan riil positif. Fungsi < , > : Rn x Rn R

dengan < u , v >=w1u1 v1+ w2u2 v2 +…+wn un vn merupakan suatu HKD
( HKD Euclid terbobot )

NORM DAN JARAK

⚫ Misalkan V adalah ruang HKD. Norm (panjang) dari vektor u di V

dinotasikan sebagai ||u|| dan didefinisikan sebagai :‖ ‖ = √〈 , 〉

⚫ Jarak antara vektor u dan v di V dinotasikan sebagai d(u, v) dan

didenisikan sebagai : ( , ) = ‖ − ‖ = √〈 − , − 〉

⚫ Vektor yang mempunyai norm sebesar 1 disebut vektor satuan (unit

vector)

Teorema

Jika u dan v adalah vektor – vektor pada ruang hasil kali dalam real V,

dan jika k adalah skalar maka:

⚫ ‖ ‖ ≥ 0 dengan persamaan jika dan hanya jika v = 0

⚫ ‖ ‖ = | |‖ ‖

⚫ d(u,v)=d(v,u)

⚫ d(u,v) ≥0 dengan persamaan jika dan hanya jika u=v

63 | P e n g a n t a r L i n i e r A l j a b a r