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quier distancia entre dos puntos de una superficie. También per-
mite construir otros invariantes, como la curvatura, una magnitud
que refleja cuánto se desvía una superficie del «recto comporta-
miento» euclídeo (figura 12).

magnitud diferencial) (figura 2). Esta expresión deja de ser válida si las coor-
denadas no se refieren ya a dos ejes perpendiculares x e y, o, en general, si nos
situamos en una superficie curva, como una esfera, por ejemplo (figura 3).
Para ampliar el marco de la teoría, Gauss trabajó con coordenadas más gene-
rales, u y v, y escribió que el cuadrado de la distancia entre dos puntos sepa-
rados por una distancia infinitesimal (u,v) y (u+du, v+dv) viene dado por:
2
2
2
ds =E(u,v) du +2F(u,v) du dv+G(u,v) dv ,
donde E, F y G son funciones de las coordenadas. Para recuperar una longi-
tud medible basta con sumar, a lo largo de una curva, todas las distancias
2
infinitesimales ds comprendidas entre sus extremos. El alemán Bernhard
Riemann no se conformó con el estudio de las superficies en dos dimensiones
y extendió los planteamientos de Gauss a un número arbitrario de ellas. En
su caso:
2
ds = f 9;¡ dx 1 dx¡,
i,j
donde n puede asumir cualquier valor natural. Las cantidades 9;¡ son, una vez
más, funciones de las coordenadas. Es decir, el cuadrado de la distancia entre
2
dos puntos extremadamente próximos, ds , se va estirando y comprimiendo
a medida que nos desplazamos por la superficie y registramos sus accidentes.
Si traducimos la expresión gaussiana a los términos, más amplios, propuestos
por Riemann, tendremos que:
x,=u
9,,=E
La colección de funciones 9 , (la métrica) reflejan juntas las irregularidades del
relieve. Se pueden representar mediante una matriz cuadrada de n elementos.
2
911 912 9 ,n
9 21 9 22 9 2n

LOS PLIEGUES DEL ESPACIO-TIEMPO 107