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Grossmann, para dominar las herramientas capaces de traducir su
intuición física al lenguaje formal de la geometría diferencial.
Hasta comienzos del siglo XIX, con la publicación de las Inves-
tigaciones generales sobre superficies curvas de Gauss, los es-
pacios en dos dimensiones se venían estudiando desde una
perspectiva tridimensional. Vale lo mismo decir que se observa-
ban desde el exterior. Lo que hizo Gauss fue zambullirse en la
propia superficie, tropezando uno tras otro con sus accidentes a
medida que la iba recorriendo. Este viaje de la imaginación inau-
guró el estudio de la geometría intrínseca de superficies, que reci-
biría su impulso definitivo con la obra de uno de los estudiantes
de Gauss, Bernhard Riemann (1826-1866).
En un plano resulta razonable extrapolar las propiedades de
una pequeña región a sus inmediaciones. Su monotonía vuelve
cualquier palmo del terreno idéntico a los demás. Sin embargo, un
medio abrupto nos ofrece en cada accidente un punto de referen-
cia. Distinguirnos una cumbre de una hondonada y no podemos
imponer la singularidad de una parte del territorio al resto. Por
tanto, para expresar la estructura intrínseca de una superficie te-
nemos que cartografiar toda su extensión.
Para hacerlo, Gauss se fijó en lo que sucede en un punto cual-
quiera de la superficie cuando nos situarnos en él y decidimos
avanzar una distancia muy corta en una dirección al azar. Si esta-
rnos en un suelo llano, como el de un piso, nos resulta indiferente
la dirección que escojamos: el mismo paso nos llevará igual de
lejos. Sin embargo, si estamos en una superficie ondulada, la situa-
ción se complica. Al dirigirnos hacia la derecha, a lo mejor cami-
namos cuesta abajo, o si nos inclinamos por la izquierda, cuesta
arriba por una pendiente pronunciada.
Por poner un ejemplo extremo, estudiemos la situación de
las dos personas del dibujo de la página contigua. Las dos cami-
nan desde A hasta E, una junto a la otra. La persona 1 camina en
línea recta, sobre un terreno llano; la 2, por la hondonada que se
abre justo a su lado. Para ir desde A hasta B, 2 tiene que dar más
pasos que 1, debido a la geometría curva de su terreno (figura
10). Si preguntamos a los dos cuál es la distancia entre A y B
darán respuestas distintas.

104 LOS PLIEGUES DEL ESPACIO-TIEMPO