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en el marco de una visión de la geometría de suprema elegancia
que atendía solamente a la curvatura métrica de los diferentes
espacios y las propiedades que de ello se derivaban. Riemann de-
mostró que el espacio euclídeo -y con él, la geometría euclídea
que lo define- era un caso particular de espacio de curvatura
constante y valor cero. En este tipo de espacio los ángulos de un
triángulo suman 180º, pero hay otros. Por ejemplo, está el espacio
esférico, donde los ángulos de un triángulo suman más de 180º y
que posee una curvatura positiva, o el hiperbólico donde, como ya
hemos visto, los ángulos de un triángulo suman menos de 180º y
que posee una curvatura negativa.

«Por amor de Dios te lo ruego, olvídalo. Témelo como a las
pasiones sensuales, porque, lo mismo que ellas, puede llegar
a absorber todo tu tiempo y privarte de tu salud, de la paz
de espíritu y de la felicidad en la vida.»
- FARKAS BOLYAI EN UNA CARTA A su HIJO JANos AL ENTERARSE DE QUE ESTE HABÍA
E~IPRENDIDO SU MISMA TAREA: PROBAR EL POSTULADO EUCÜDEO DE LAS PARALELAS.

LA VALIDEZ DE LA GEOMETRÍA EUCLÍDEA

La aparición de estas geometrías alternativas provocó un debate
filosófico que se puede resumir con las palabras del artículo póstu-
mo del lógico alemán Gottlob Frege, «Sobre geometría euclídea»:

Nadie puede servir a la vez a dos señores. No es posible servir a la
verdad y a la falsedad. Si la geometría euclídea es verdadera, enton-
ces la geometría no euclídea es falsa. Y si la geometría no euclídea
es verdadera, entonces la euclídea es falsa. [ ... ] ¡Dentro o fuera! ¿A
cuál hay que arrojar fuera, a la geometría euclídea o a la no euclídea?
Esa es la cuestión.

Y sin embargo, no es tan simple. Porque si trabajamos bajo la
hipótesis de que una geometría es cierta - la euclídea, por ejem-

76 EL LIBRO I Y LA GEOMETRÍA DEL UNIVERSO