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LAS GEOMETRÍAS NO EUCLÍDEAS

Una pregunta que no se puede obviar al tratar de geometría es:
¿cuál es la verdadera geometría de la naturaleza? Porque no cabe
duda de que uno de los objetivos de la axiomatización consiste en
«captar la verdad de lo que es». Ahora bien, también podría ser
que en su lugar estuviéramos meramente «captando la verdad de
lo que pensamos», es decir, una creación de la mente humana, no
necesariamente real.
Las dos geometrías «reales» de la época de Euclides eran
la geometría del cielo - la esférica, necesaria para comprender
los procesos astronómicos tan caros a los griegos y antes a los
egipcios y babilonios- y la geometría del patio de casa - la
que realizaba Arquímedes, según la leyenda, cuando el soldado
romano lo atravesó con la espada- . La primera, que hoy día se
conoce también con el apelativo de elíptica, es equivalente a
la que podemos dibujar en la superficie de un globo terráqueo.
En este tipo de geometría, los puntos se definen normalmente,
pero las rectas, no. Si entendemos la recta en el sentido arqui-
mediano - la línea más corta que une dos puntos- , veremos
que tienen una particularidad: se cortan necesariamente. Ima-
ginemos un caso real: dos personas echan a caminar sobre la
esfera de la Tierra en línea recta hasta regresar al punto de par-
tida. Ambos dibujarán necesariamente un círculo máximo (es
decir, aquella sección de la esfera que la divide en dos hemis-
ferios exactos), y los círculos máximos de una esfera acaban
por cruzarse necesariamente ( en la figura 3, los dos círculos
máximos r y r' se cortan en el punto P). En consecuencia, dada
una recta, no es posible trazar ninguna paralela a ella por un
punto dado.
La segunda geometría, la del patio de la casa, es la propia de
un patio cerrado por paredes en el cual solo se puede dibujar lo
que la arena que cubre el suelo permite. En esta geometría, por un
punto P exterior a una recta r podemos trazar una infinidad de
rectas paralelas (figura 4). Así, por ejemplo, se tira desde el punto
P las rectas r', r" y r"'. Solo la rectar" corta a la rectar dentro del
patio. Sin embargo, hay otras: todas las que hay dentro del ángulo

72 EL LIBRO I Y LA GEOMETRÍA DEL UNIVERSO