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El triángulo equilátero sobre el segmento AB de la proposi-
ción 1 «existe» porque la construcción euclídea es correcta; pero
dicha construcción depende de la existencia del punto C. En un
universo en el que dicho punto no existiera, el triángulo tampoco
existiría. Muchas de las primeras demostraciones de los Elemen-
tos de Euclides dependen de este elemento en particular. De
hecho, la «constructibilidad» de los Elementos depende de la
constructibilidad de puntos. Euclides impone la condición nece-
saria y suficiente para que dos rectas se corten y, por tanto, esta-
blece adecuadamente los puntos construidos de este modo. Sin
embargo, Euclides no establece en qué condiciones se producen
los cortes entre una recta y una circunferencia o entre dos circun-
ferencias y, por tanto, los puntos generados de esta forma son
«inválidos».

«Cada vez estoy más convencido de que no es posible
demostrar la necesidad de nuestra geometría mediante
el intelecto humano ni tampoco para su servicio.»
- CARL FRJEDRICH GAUSS.

Y no habría sido demasiado difícil: en el caso de las circunfe-
rencias, por ejemplo, le bastaría con haber in1puesto:

Postulado de intersección de dos circunferencias. Si la
distancia que hay entre los centros de dos circunferencias
es inferior a la mitad de los diámetros de ambas juntos
[ esto es, menor que dos radios, uno de cada circunferencia,
juntos] ambas circunferencias se cortan en dos puntos.

De forma análoga, es fácil imponer una condición que per-
mita asegurar la existencia de «dos puntos» fruto de la intersec-
ción de una recta y una circunferencia: Una recta y una
circunferencia se cortan [ en dos puntos J cuando la perpendicu-
lar que va del centro de la circunferencia a la recta es inferior al
radio. Sin embargo, Euclides calla al respecto.

68 EL LIBRO I Y LA GEOMETRÍA DEL UNIVERSO