Page 71 - 20 Euclides

Tiramos por Puna recta perpendicular PQ aAB (Q se halla en
la recta AB o en una prolongación y se puede tirar con regla y
compás según la proposición 12). Análogamente, tiramos una per-
pendicular PR por P a PQ. Está claro que las rectas PR y AB son
paralelas porque, si no lo fuesen, se cortarían en un punto, por
ejemplo, en el punto R, y tendríamos un triángulo t::,,QPR con dos
ángulos rectos. Pero ello no es posible ( contradeciría la proposi-
ción 16 del Libro 1) y, por tanto, la existencia de la recta paralela
queda establecida. Llegados a este punto, queda pendiente demos-
trar que dicha recta es única. Pues bien: no es posible hacerlo sin
recurrir a un objeto geométrico «falso» (o «ideal»), es decir, a un
objeto geométrico que presuponga la asunción que se quiere de-
mostrar. La unicidad de la recta paralela, en definitiva, no se de-
riva de ninguno de los otros postulados. Esta constatación trajo
consigo una auténtica revolución, corno veremos más adelante, y
buena parte de ello se debe al hecho de que suponía cuestionar a
una autoridad de la talla de Euclides.

LA DEMOSTRACIÓN DE LA UNICIDAD DE LA PARALELA
La unicidad de la recta paralela no
es demostrable si no es asumien- o p
~
do la «verdad» de la geometría -;7=========-:__R
euclídea, es decir, desde «dentro»
de ella.

Por un punto exterior P a una
recta AB, solo podemos trazar- A Q B
le una paralela.

Si hubiese dos rectas paralelas a la recta AB (figura adjunta: una figura ideal
porque depende de una falsedad) serían la primera (que forma ángulo recto
con PQ en el punto P) y otra, PR. Entonces el ángulo <QPR sería inferior a un
ángulo recto (Libro 1, proposición 31). Por lo tanto, los ángulos <BQP y <QPR
sumarían menos de dos ángulos rectos (noción común 4). Por el postulado
de las paralelas (PS), las rectas PR y AB se cortan. iContradicción! Por lo
tanto, hay que abandonar la hipótesis según la cual PR es paralela.

EL LIBRO I Y LA GEOMETRÍA DEL UNIVERSO 71