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LA TRACTRIZ Y LA PSEUDOESFERA
y
Si se parte de una tractriz -la curva
de los puntos cuya distancia sobre
la tangente desde el punto al eje OY,
es constante, figura de la izquierda-
Y se hace girar alrededor de OY (su
asíntota), se obtiene la pseudoesfe-
ra, el primer modelo de la geometría X
hiperbólica.

plo- , en su seno podemos «fabricar» superficies -la esfera, por
ejemplo- cuya geometría es elíptica y otras -el patio de casa,
pero bien construido: el primer ejemplo que se dio fue la pseu-
doesfera de Eugenio Beltrami (1835-1900)- cuya geometría es
hiperbólica Lo mismo ocurre si se admite la validez de cualquiera
de las otras dos geometrías. Es decir, la validez de una implica la
validez de las otras ya que en el seno de cualquiera existen super-
ficies o espacios en los cuales son válidas las otras.
En 1899, Hilbert escribió los Principios de geometría, en los
que «reescribió» los Elementos de Euclides pero, ahora, bien fun-
damentados y sin recurrir a la intuición ni a los dibujos. Los obje-
tos básicos - ya sean «puntos, rectas y superficies» o «sillas,
mesas y jarras de cerveza», en palabras de Hilbert- quedaban
definidos por los axiomas que establecen las relaciones que exis-
ten entre ellos y por nada más.
No obstante lo dicho, es curioso observar que Euclides esco-
gió como geometría «verdadera» -en lugar de, por ejemplo, la
esférica- una geometría ideal, es decir, una que se sostiene en
construcciones que solo son válidas en tanto que expresiones
puras que trascienden la experiencia. Solo puede aducirse como
razón para ello una cierta vena platónica en Euclides que le em-
pujó a reconocer tácitamente la existencia de esta geometría
ideal, como tal no sujeta a otra realidad que la implicada en la idea
misma de geometría.

EL LIBRO I Y LA GEOMETRÍA DEL UNIVERSO 77