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Pero la derivación de Boltzmann tenía un problema y era su
uso de lo que se dio más tarde en llamar la «hipótesis ergódica».
Se trataba del supuesto de que, si se le daba el suficiente tiempo,
una molécula pasaría por todas las energías posibles, lo cual era
necesario para poder aplicar la teoría de la probabilidad de forma
rigurosa. Es decir, supongamos que una cierta molécula se encuen-
tra en reposo en un cierto instante: cada vez que sufra una colisión,
su energía cinética se verá modificada y tomará un nuevo valor
aleatorio; si se espera suficiente tiempo, parece lógico asumir que
la molécula habrá pasado por todas las energías posibles.
Sin embargo, los números reales -que incluyen a racionales
e irracionales- poseen ciertas propiedades que Boltzmann des-
conocía y que contradicen su hipótesis: entre dos cualesquiera,
hay un número infinito de otros números reales. Así pues, aunque
se disponga de un tiempo infinito, nada garantiza que un valor

NÚMEROS REALES Y NÚMEROS RACIONALES
Los números reales consisten en la suma de los conjuntos de los números
racionales y los irracionales. Los primeros son aquellos expresables como un
cociente entre dos números enteros; los segundos no pueden expresarse de
esta manera. Ejemplos de números racionales son 2, 5/7 o 2,35; en cambio, Jt,
e o ✓2 son números irracionales. Una propiedad importante de los números
irracionales es que son infinitamente más abundantes que los racionales. De
hecho, entre dos números reales cualesquiera hay una infinidad de números
irracionales. Para comprobar esta propiedad de manera algo informal basta
con fijarse .en su expresión decimal. Por ejemplo, tómense dos números muy
próximos entre sí, como 1,00000000250 y 1,00000000251; añadiendo una
serie aleatoria de ceros y unos después del 5, se obtienen infinitas combinacio-
nes -ya que hay infinitos decimales- de números que tienen un valor entre los
dos anteriores. Además, por muy pequeña que se haga la diferencia, siempre
habrá un número infinito, ya que infinito -el número total de cifras decimales
de un número irracional- menos un número finito sigue siendo infinito. Esto
tiene como consecuencia que es imposible que, dando un tiempo finito -o
tan grande como se quiera-, una molécula pase por todos los valores posibles
de la energía, si esta puede tomar cualquier valor real. Lo único que puede
asegurarse es que las trayectorias serán «densas», lo que matemáticamente
significa que pasarán arbitrariamente cerca de cualquier número.
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52 EL CALOR DE LOS ÁTOMOS