Page 41 - 22 Euler

Euler «interpoló» el factorial n! y encontró, en 1729, una fun-
ción continuaf(x) que actuaba como el factorial cuando x =n era
entero. La llamaremos r(x) que es su denominación actual.
Euler definió el valor de r(x) en cada punto x por lo que hoy
llamaríamos límite:

r(x ) = lim n!nx
n- x (x + l)(x + 2) .. . (x + n)'
00

definición sustituida en la actualidad por la fórmula integral:

que es más sencilla y manejable y es válida, además, en el can1po
de los números complejos.
Cuando se estudia a fondo, de la r(x) resultan todo tipo de
fórmulas muy sugestivas para una mente matemática como:

Jt
r(l-z)r(z) = --,
sen(nz )
que relaciona a gamma con pi y con funciones trigonométricas.

LAS OTRAS GAMMAS

Hay varios modos de definir r(x ). En el siglo pasado hizo fortuna la fórmula
de Karl Weierstrass (1815-1897), que pone de relieve a la constante de Euler
(y, llamada también gamma, aunque con minúscula):
e -rz ~ ( z)-1 ,
r(Z)= - TI l+ - é .
z n-1 n
Esta función cumple que:
r(l) = l
r(l + X) = XI'(X).
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