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LA MADRE DE TODAS LAS FUNCIONES
En matemáticas la reina de las funciones, la que centra la atención de más
especialistas y que consume más bytes de literatura electrónica es la función
zeta. Su denominación procede de la letra griega 1;, (zeta) y fue Euler quien la
empleó por primera vez generalizando el llamado problema de Basilea, el
primer resultado matemático que le dio fama. Euler demostró que la suma
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infinita de los inversos de los cuadrados es n /6:
y posteriormente consiguió generalizar el resultado considerando la siguiente
función:
1 1 1
1;,(x) = 1+-+-+-+ ... ,
2x 3x 4x
que puede tomar cualquier valor x en el campo lR de los números reales. Euler
calculó muchos valores de la función zeta, aunque incluso en la actualidad se
desconoce un método directo para hallar infinitos de esos valores. El propio
Euler encontró un modo de convertir la suma infinita de 1;, en producto infini-
to, obteniendo, gracias a su habilidad algebraica para la manipulación de
fórmulas, la expresión:
00 1
1;,cs) = ~ = íl_j_•
00
-
¿ ns
¡ _ _2__
n-1 k - 1 P!
donde los distintos pk recorren exclusivamente el campo de los números pri-
mos. De este modo puso al descubierto un vínculo inesperado de la función
zeta con dichos números. Con las herramientas especiali'zadas del análisis
superior, puede trasladarse la función zeta al campo complejo, tomando los
valores des, ya no en IR, entre los números reales, sino en el campo complejo,
C. La función zeta fue ampliada a este campo y estudiada, en principio, por el
gran matemático alemán Bernhard Riemann (1826-1866). Esta es la función
conocida hoy como función zeta de Riemann y en ella se inscribe la llamada
hipótesis o conjetura de Riemann, un enunciado desconcertante, todavía no
demostrado, que contituye lo que se considera actualmente como problema
pendiente número uno de la matemática contemporánea. La hipótesis de
Riemann forma parte de los siete problemas del milenio cuya resolución pre-
mia la fundación Clay con un millón de dólares cada uno.
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