Page 22 - 30 Cantor

Podríamos hablar, por poner un ejemplo, de la colección formada
por todos los días del mes de diciembre del año 3000.
Hecha esta aclaración, volvamos a la pregunta inicial, y para
comenzar a acercarnos a su respuesta analicemos primero el con-
cepto opuesto, mucho más familiar, de finitud. Preguntémonos
entonces qué significa que una colección de objetos sea finita.
La palabra «finita» quiere decir, literalmente, «que termina»,
«que no sigue indefinidamente». Con esta idea en mente, pode-
mos afirmar que una colección de objetos es finita si es posible,
al menos en teoria, contar uno por uno todos los objetos que la
forman de modo que la cuenta termine en algún momento.
La colección de todos los días del mes de diciembre del año
3000, que mencionábamos antes, es finita. Para mostrar otro ejem-
plo, imaginemos que a cada una de las personas adultas que viven
hoy sobre la Tierra le pedimos que cierre herméticamente una
botella llena de aire. La colección formada por todas las molécu-
las de oxígeno contenidas en esos miles de millones de botellas
también es finita. Por supuesto, en este último caso seria extrema-
damente difícil en la práctica contar uno por uno todos los objetos
que forman la colección, pero las dificultades prácticas no son
relevantes para el concepto de finitud, el punto importante es el
hecho teórico de que la cuenta terminaria en algún momento, aun
cuando ese momento tarde siglos en llegar.
Por oposición, una colección es infinita si al intentar con-
tar uno por uno todos los objetos que la forman resulta que esa
cuenta nunca termina. Conviene enfatizar que en esta definición
no estamos usando la palabra «nunca» en un sentido metafórico,
como sinónimo de «por muchísimo tiempo», sino que, por el con-
trario, «nunca» debe ser entendida aquí en el sentido más potente
y literal de «jamás por toda la eternidad».
La idea del infinito, y esta distinción que haremos es muy
importante, puede ser entendida a su vez de dos maneras bien
diferentes. El infinito puede ser en potencia o puede ser en acto.
Para comprender la diferencia entre una y otra manera de ver el
infinito imaginemos un escriba que se ha propuesto la tarea de ano-
tar, uno por uno, todos los números naturales ( que son lo.s números
que se obtienen a partir del O, sumando 1 cada vez; es decir, los nú-

22 EL COMIENZO DEL INFINITO