Page 27 - 30 Cantor

El segundo argumento que va-
FIG.2
mos a comentar, que Aristóteles ex-
•-Circulo
pone en el Libro VIII de su Física,
afirma que no es cierto que un seg- +-- Un «punto gráfico» es un circulo
pequeño.
mento esté formado por una canti-
+-- Un «punto matemático» en realidad ,
dad infinita de puntos. Aristóteles es invisible. 1
plantea una justificación filosófica ..__ _________ J
para esta afirmación, pero podemos
traducirla a un razonamiento matemático.
Aclaremos que cuando decimos «punto» nos referimos a un
«punto matemático», es decir, un objeto que carece de longitud,
anchura y altura. El «punto ortográfico» que el lector puede ver
al final de una oración en una página impresa no es un punto ma-
temático, en realidad es un círculo muy pequeño o, más exacta-
mente, un cilindro de tinta de base muy reducida, pero no nula, y
de altura pequeñísima, pero tampoco nula (figura 2).
Entonces, un punto matemático tiene, por definición, una
longitud que es exactamente igual a cero. Si reunimos muchos
puntos, la longitud total que obtendremos será O + O + O + O + ...
Pero, no importa cuántas veces sumemos cero, ya sea una can-
tidad finita o infinita de veces (aun si esto último fuera posible),
la longitud total que obtendremos seguirá siendo siempre cero.
En conclusión, si un segmento estuviera formado por puntos,
su longitud total sería cero. Pero sabemos que las longitudes de
los segmentos no son iguales a cero, y por lo tanto no pueden
estar formados por puntos. Volveremos a esta paradoja en el
capítulo 3; allí veremos qué es lo que tiene que decir al respecto
la teoría de Cantor.
Como consecuencia de este razonamiento, sería imposible
dividir un segmento en una cantidad infinita de partes. Tomemos,
por ejemplo, un segmento de 10 cm de longitud. Si lo dividimos en
10 partes iguales, cada una de ellas medirá 1 cm. Si lo dividimos
en 100 partes iguales, cada una medirá 0,1 cm. Si lo dividimos en
1000 partes iguales, cada una medirá 0,01 cm de longitud. Pero si
lo dividiéramos en una cantidad infinita de partes iguales, cada
una de ellas mediría O cm; es decir, el segmento estaría formado
por partes de longitud exactamente cero. Pero ya vimos que esto

EL COMIENZO DEL INFINITO 27