Page 88 - 07 Schrödinger

EL ELECTRÓN LIBRE
Cuando la función V se anula, el electrón queda en libertad y la ecuación de
Schródinger, en una dimensión, se reduce a su forma más simple:
¡¡2 a2'1j,
----E 'ljJ(X) [l]
2m ax 2
que se parece mucho a la primera ecuación diferencial que consideramos:
dy =k y(x).
dx
Entonces interpretamos que la pendiente de y era proporcional al valor de la
propia función en cada punto. Ahora lo es el ritmo con el que va cambiando
la pendiente de la función 'ljJ. Vemos que ante un valor de E grande (un electrón
muy energético), para una misma 'ljJ la derivada segunda será mayor. Estare-
mos en la situación de la onda comprimida, con una longitud de onda, por
tanto, corta (véase de nuevo la figura 11). Recordando la expresión de De
Broglie: "A=hlp, una "A pequeña corresponde a un momento p grande (es decir,
a una gran velocidad: p = mv). Al contrario, una E pequeña nos sitúa en el caso
de la onda estirada, con una longitud de onda larga y, por tanto, poca veloci-
dad: un electrón poco energético. En la ecuación [1], el electrón, al no sufrir
ninguna influencia del entorno, se halla en un estado similar al de la cuerda
libre y su frecuencia continua. De hecho, la forma de 'ljJ se parece mucho a una
onda que se propaga en libertad. La energía de la partícula tampoco está
cuantizada y admite un espectro infinito de valores.

Donde· la función 1/x muestra el perfil de la figura 14, en la que
se obsezva que la función 1/x tiende a infinito cerca de x = O y de-
crece hasta anularse cuando x se hace muy grande.
El dibujo de la cuzva revela que V se hace notar en la ecuación
sobre todo cuando el valor de x es bajo ( cuando el electrón deam-
bula cerca del núcleo). Si dividimos un número por otro mucho
más pequeño que la unidad, obtenemos como resultado un nú-
mero grande. Cuanto más pequeño sea el divisor, mayor será el
cociente. Por ejemplo:

1
-=10 l = 1000 000.
0,1 0,000001

88 LA ECUACIÓN DE ONDAS