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Por su parte el propio Gregory, intentando calcular el área del
círculo de forma analítica, llegó a otra expresión para el cálculo
de 1t:
1t 2·2·4·4·6·6·8 ·8 ...
-=
2 1·3·3·5 ·5·7·7 ·9 ...
En el siglo XVII tuvieron gran auge las sumas de series infinitas
de potencias, que servían para buscar las cuadraturas de figuras
linútadas por distintos tipos de curvas, es decir, el área encerrada
por una curva no limitada por segmentos.

LEIBNIZ Y LAS SERIES INFINITAS

Cuando en 1672 Leibniz visitó a Huygens en Paxis, le habló sobre un
método que había inventado para hallar sun1as de series de núme-
ros, que consistía en considerar diferencias entre los términos de
la sucesión. Si tenemos una serie de términos a <a <a <a < ... a,,,
0 1 2 3
consideran1os las diferencias b = a - a ; b = a - a ; b = a - a ; . ..
1 1 0 2 2 1 3 3 2
y entonces de la suma nula a -a +a - a +a -a + .. . +a,,_ -a,,_ +
0 0 1 1 2 2 1 1
+a,,-a,,= a +b +b + ... +b,,- a,.= O, de donde se sigue que la suma
0 1 2
de diferencias es igual a:

Leibniz defendió que su método de diferencias se podía uti-
lizar para hallar la suma de cualquier serie de números que estu-
viesen construidos según una regla, e incluso para series infinitas
siempre que fueran convergentes.
En esa misma reunión Huygens le planteó un problema a
Leibniz, que él ya había solucionado, para que probara su método,
la suma de los inversos de los nún1eros triangulares, es decir, la
serie siguiente:

1 1 1
l+ - +-+-+ ...
3 6 10

70 Y EL CÁLCULO SE HIZO