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Leibniz partió de la suma de los inversos anterior y dividió
por dos cada término, descomponiendo las fracciones en diferen-
cia de dos:

por lo que la serie buscada tiene el valor de 2 (1 + 1).
También se debe a Leibniz lo que se conoce como criterio de
convergencia de series alternadas, es decir, aquellas en que se
alternan los términos que van sumando y restando. Básicamente
será una expresión de la forma:

o,
¿ (-1 )" · a,. = a 0 - ª1 + ª2 - a3 + a4 - •·· con a,. ~ O.
n-0
El criterio apareció por primera vez en una carta dirigida a
Johann Bernoulli (1667-1748) en 1713.
Para muchos matemáticos, los criterios de convergencia que
utilizaban se basaban en hallar sumas parciales de una serie de
términos, por ejemplo n, intentando hallar una expresión simpli-
ficada que dependiese de n y después estudiar qué ocurriría si el
número de términos aumentaba hasta el infinito. Pero no todos los
matemáticos estaban de acuerdo con este proceso, dado que apa-
recían los llamados disparates lógicos, es decir, series que con un
procedimiento divergían, mientras que si se utilizaban otros pro-
cedimientos, se podían conseguir valores adecuados para la sun1a.
Uno de los principales disparates de la época era sumar la
serie alternada en la que a,,= 1 para todo n. Es decir, estamos ha-
blando de la serie:
o,
¿(-1)" =1-1+1-1+1-1+1-1+ ...
n ... 1
Si tomamos un número par de términos, la suma parcial vale
O, mientras que si tomamos un número impar, la suma parcial
vale l. Leibniz llegó a asignar a esa suma el valor de 1/2.
Un razonamiento simple para llegar a esa solución sería el
siguiente:

Y EL CÁLCULO SE HIZO 71