Page 67 - 27 Leibniz

Los matemáticos habían buscado siempre fórmulas que per-
mitieran sumar con facilidad un gran número de términos. Ya en
la antigüedad se conocía la suma de los términos de las series de
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primeras potencias: n, n y n .
n(n+l) n 2 n
1+2+3+4+5+6+7 + ... +n=---=-+-,
2 2 2
3 2
12+ 22+ 32+ ... +n 2 = n(n+l)(2n+l) = n + n + n
6 3 2 6'
2( 1)2 4 3 2
13 + 23 + 33 + ... + n 3 = n n + = !!:._ + !!:._ + !!:._.
4 4 2 4

=
¿ ,n 1 + r + ,2 + r3 + r4 + ... ,
n.o
es conocida y manejada por los alumnos de secundaria. Para hallar el valor
de la suma tenemos que sumar n términos de la serie geométrica, y a conti-
nuación multiplicamos la misma suma por la razón r. Luego restamos las dos
expresiones:

S - 1 + r + ,2 + r3 + r4 + ... + rn
r. 5 = r + ,2 + r3 + r4 + ,s + ... + ,n+l
5-r·S=l

De esta manera, podemos despejar 5 y así podemos obtener el valor de la
suma que estábamos buscando:

1-rn+l
5=--
1-r
Si consideramos ahora que res un valor menor que 1 y que en lugar de sumar
n términos sumamos infinitos, el valor rn+i se convierte en cero y, por tanto,
la suma se reduce a:
,
5 __ __
1-r

Y EL CÁLCULO SE HIZO 67