Page 69 - 27 Leibniz

Así se obtiene una serie de fracciones todas mayores que 1/2;
por ello, la suma de la serie se puede hacer más grande que cual-
quier número que se indique sin más que tomar suficientes térmi-
nos de la serie.
El matemático y astrónomo indio Madhava de Sangamagrama
(1350-1425) descubrió, entre otras series infinitas, las de las fun-
ciones trigonométricas del seno y del coseno. También encontró
la serie de .la arcotangente: ·
x3 x5 x1
arctanx = x- -+ - -+ ...
-
3 5 7
Años más tarde el matemático y astrónomo escocés Jan1es Gre-
gory (1638-1675) redescubrió esta serie y, a través de él, la conoció
Leibniz, quien la utilizó para hallar una aproximación del número n,
con el inconveniente de que se acerca muy lentan1ente a ese valor.
Se conocía como serie de Gregory-Leibniz, aunque otros autores la
conocen en la actualidad como serie de Madhava-Leibniz:

n l 1 1 (-1)"
- = 1--+---+ ... +--+ ...
4 3 5 7 2n+l
Tanto Newton como Leibniz encontraron el desarrollo en
serie de potencias del resto de funciones trigonométricas.
El cálculo de cüras correctas del número n ha sido una bús-
queda constante de los matemáticos de todas las épocas. Este
número se define como el cociente entre la longitud de una cir-
cunferencia y su diámetro. Muchos han intentado hallar la mayor
cantidad de cüras y uno de los métodos usados ha sido el de las
series numéricas, de forma que a medida que se van calculando
más términos, van apareciendo mayor cantidad de cifras decima-
les exactas.
Las series no siempre han sido sumas. Por ejemplo, el mate-
mático Franc;ois Viete (1540-1603), uno de los precursores del ál-
gebra actual, presentó el primer producto infinito que se acercaba
al valor de n mediante la siguiente expresión:

Jt=2-~- 2 _ 2 . 2
2
.J2 -J +.J2 -h+-J2+.J2 ✓2+ ✓2+-J2+.J2 ---

Y EL CÁ LCULO SE HIZO 69