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Pero desde el principio los matemáticos tenían mucho interés
en estudiar el caso concreto en que la suma de infinitos términos
diera un valor finito. Demócrito y Arquímedes, por ejemplo, traba-
jaron en dicho problema.
A partir de la serie geométrica
Lrn,
n.2:l
en la Edad Media se investigaron las series de potencias que inter-
cambian entre sí la base y el exponente, es decir, las series del tipo

aunque pronto se vio que si el exponente r era positivo y n era un
número entero, la suma se convertía en infinito. En el caso de que
el exponente r fuera negativo, se obtenían potencias de fracciones
menores que la unidad, es decir, la suma

~ (_!_)'"
n;z:l n '

con r mayor que la unidad.
El francés Nicolas de Oresme (1323-1382) proporcionó mu-
chos resultados sobre series y fue el primero en demostrar que
la serie armónica, es decir, la serie anterior parar= 1, era di-
vergente, por lo tanto la suma de una gran cantidad de términos
tendía a infinito. En esa época, las demostraciones se hacían de
forma literal, describiendo los pasos que se seguían en el proceso
de demostración, pero nosotros vamos a ver ese ingenioso razo-
namiento utilizando símbolos más corrientes. Lo que hizo Oresme
fue agrupar términos; de esa manera tenía el prin1er término, los
dos siguientes, los cuatro siguientes, los ocho siguientes y así su-
cesivamente:
½+½+¼+¼+½+i+½+ ... = ½+(½+¼)+(¼+½+i+½)+ ... =

=-+-+-+ ...
1 7 533
2 12 840

68 Y EL CÁLCULO SE HIZO