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Inmediatamente después, Frege abandonó la lucha y se retiró
de manera definitiva. Aunque vivió hasta 1925, nunca volvió a ocu-
parse del tema de los fundamentos.

EL LOGICISMO Y EL INTUICIONISMO

¿Qué reacciones provocó el descubrimiento de la paradoja de
Russell? En primera instancia se propusieron dos soluciones. El
primer intento se debió al mismo Russell y fue expresado en su
Principia Mathematica, la monumental obra que escribió junto a
su maestro Alfred North Whitehead.
La propuesta de Russell, que se dio en llamar logicismo, consis-
tía en retomar el trabajo de Frege, pero enmendando los errores que
llevaron a la crisis. Russell decía que toda paradoja nacía de una
cierta autorreferencia. Por ejemplo, la famosa paradoja del menti-
roso, que se produce cuando uno se pregunta si la frase «esta oración
es falsa» es verdadera o falsa, nace de analizar una frase que habla
de sí misma. La propia paradoja de Russell surge al preguntarnos si
cierto cor\junto cumple la propiedad que define al propio coitjunto.
Para evitar estas situaciones, el logicismo propuso una modi-
ficación radical del lenguaje lógico mediante la llamada «teoría de
los tipos». El concepto general consistía en imponer al lenguaje
matemático una rígida jerarquía en la que cada afirmación solo
podía referirse a entes o afirmaciones ubicadas en los estratos
inferiores. De este modo, la misma estructura del lenguaje evitaba
las autorreferencias y, por ende, las paradojas.
En el nivel cero de la jerarquía estaban los individuos; en el
nivel 1, las afirmaciones que hablaban de los individuos; en el nivel
2, las afirmaciones que hablaban de las afirmaciones de tipo I; y
así sucesivamente. Por ejemplo:

1, 2, 3, 4, .... (Individuos, tipo O)
«2 + 2 = 4» ( afirmación de tipo 1, que habla de individuos)
«Es verdad que "2 + 2 = 4"» (afirmación de tipo 2, que habla de
la anterior).

36 LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS