Page 34 - 18 Godel

conjunto vacío, que no tiene miembros, pero podemos dejarlo de
lado en nuestro análisis). Por ejemplo, el conjunto de los planetas
del sistema solar tiene, hasta donde sabemos, ocho miembros:
Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter, Saturno, Urano y Nep-
tuno. El objeto «conjunto de los planetas del sistema solar» es un
ente abstracto, que vive solamente en nuestro pensamiento y que
reúne bajo una misma etiqueta a esos ocho planetas. Cada uno de
los miembros de ese conjunto, en cambio, es un planeta concreto,
no un ente abstracto. El conjunto de los planetas del sistema solar
no aparece listado entre sus propios miembros: el conjunto de los
planetas del sistema solar no es un miembro de sí mismo. Russell
expresaba esta misma idea de la siguiente manera: «un conjunto
formado por caballos no es un caballo» (podemos montar a ca-
ballo, pero no sobre un ente abstracto). Algunos conjuntos sí son
miembros de sí mismos. Pensemos, por ejemplo, en el conjunto de
todos los entes abstractos. Él mismo es un ente abstracto, y por lo
tanto, un miembro de sí mismo.
Regresemos ahora al axioma de comprensión. Asociado a la
propiedad «ser un conjunto que no es miembro de sí mismo» te-
nemos el conjunto R, que está formado por todos los conjuntos
que no son miembros de sí mismos. Formulémonos la siguiente
pregunta: ¿es R elemento de sí mismo? Si R es miembro de sí
mismo, entonces cumple la propiedad que define aR. Por lo tanto,
R no es miembro de sí mismo. Esto es una contradicción. Pero si
R no es miembro de sí mismo, entonces no cumple la propiedad
que define a R. Por lo tanto, si no cumple la propiedad, R sí es
miembro de sí mismo. Tenemos otra contradicción.
Es decir, R no puede ser miembro de sí mismo, pero tampoco
puede dejar de serlo. Esto es una imposibilidad lógica. El conjunto
R (cuya existencia es habilitada por el axioma de comprensión)
no puede existir porque su existencia genera una contradicción
lógica. Así, el axioma de comprensión, que parecía tan inocente,
es en realidad autocontradictorio. Este descubrimiento se conoce
actualmente como la «paradoja de Russell».
El descubrimiento de que la teoría de conjuntos es contra-
dictoria desencadenó la crisis de los fundamentos. Si un axioma
en apariencia tan inocente como el de comprensión generaba una

34 LA CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS