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Cuando se extiende el campo de definición a los complejos, la
función es más difícil de manejar. Por lo pronto, ya no es posible
representarla gráficamente. La función zeta que usaba Euler es una
función real de variable real, es decir, para un valor real obtenemos
un resultado que es un valor real. Por ejemplo, sabemos que

00 1 Jt2
t(2)= 2-2 =-.
n-1 n 6

Eso hace que sea posible su representación como una gráfica
2
en el plano, que los matemáticos notamos por JR . Cuando cambia-

matemática, la distancia que ha de recorrer Aquiles hasta que alcance a la
tortuga viene dada por la suma,

Por lo que en el peor de los casos, tenemos que Aquiles ha de recorrer

o 00 1
-+ "-·O
2 L, 2 '
n- ln
pero sabemos, por el resultado de Euler, que la suma de la serie es finita, de
hecho vale n / 6, por lo que la distancia que ha de recorrer Aquiles es también
2
finita. Es más, la distancia que recorre antes de alcanzar a la tortuga y que
notaremos por d, verifica

Si hacemos las cuentas nos queda que ds2,144·0. De hecho, es elemental
calcular que la distancia que recorre Aquiles para alcanzar a la tortuga al
doble de velocidad es d=2D.

PONIENDO ORDEN ENTRE LOS NÚMEROS PRIMOS 117