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descompuso cada término de la serie como el producto de primos.
Por ejemplo,

1 1 1 1
90 = 2 3 5º
2

Riemann estudió a fondo la función que había usado Euler
que, como hemos visto, se puede expresar en función de los nú-
meros primos. Su gran aportación, entre otras cosas, fue ampliar
el dominio de la función de los números reales a los números
complejos.

EULER Y LA TORTUGA

Zenón de Elea (ca. 490 a.C.-ca. 430 a.C.) fue un filósofo griego que ideó una
serie de paradojas, o aporías, para apoyar la doctrina de su maestro Parmé-
nides, que afirmaba que las sensaciones que obtenemos del mundo son ilu-
sorias, y concretamente, que no existe el movimiento físico, como pretendía
probar por razonamientos lógicos. La más famosa de sus paradojas tiene por
protagonistas a Aquiles, «el de los pies ligeros», y una tortuga. Aquiles y la
tortuga se retaron a una carrera. Ya que el guerrero corría mucho más rápido
le dio a aquella una gran ventaja. Al darse la salida, Aquiles recorrió la distan-
cia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubrió que la tortuga
ya no estaba, sino que había avanzado un pequeño trecho. Sin desanimarse,
siguió corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, esta había
avanzado un poco más. Y así siguió ocurriendo hasta el infinito. De este modo,
Aquiles no alcanzaba nunca a la tortuga; la conclusión es evidente: como
nuestros sentidos nos dicen que Aquiles alcanza a la tortuga, entonces es que
nuestros sentidos nos engañan y Parménides tenía razón. El razonamiento es
falso y fácil de desmontar. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia
que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada
vez más y más pequeños, y su suma da un resultado finito, por lo que Aquiles
alcanzará a la tortuga. Supongamos que Aquiles le da a la tortuga una venta-
ja inicial de O y que el guerrero solo corre al doble de la velocidad de la tor-
tuga. Cuando Aquiles llega donde estaba la tortuga, el animal ha recorrido
(1/2)0. Reiteramos el razonamiento y sabemos que, cuando Aquiles llega a
0+(1/2)0, la tortuga ha avanzado (1/4)0 adicional. Por ponerlo de forma

116 PONIENDO ORDEN ENTRE LOS NÚMEROS PRIMOS