Page 112 - 11 Gauss
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Li (N) = f _!!:Jj__
2 ln(y)
Con lo que Gauss conjeturó que n(N) e L i (N), que es lo que se
conoce como la conjetura de los números primos de Gauss que,
como veremos, se convirtió en el teorema de los números primos
de Gauss. Con esta expresión, el matemático alemán volvía a su-
perar a Legendre, aunque serian necesarios enormes avances téc-
nicos en el cálculo de números primos para probarla. Gauss de-
dicó mucho tiempo a la construcción de tablas de números primos
para poder probar su conjetura. Con más de setenta años, Gauss
le escribió al astrónomo Johann Encke (1791-1865): «Con mucha
frecuencia utilizaba un cuarto de hora de inactividad para encon-
trar los números primos de intervalos de tamaño mil». Con esta
curiosa forma de relajarse, Gauss consiguió encontrar el número
de primos inferiores a 3 000 000 y comprobó que la diferencia con
la estimación de su función integral .era de apenas del 0,0007%.
Cuando se empezaron a utilizar tablas más extensas de primos, se
descubrió que la fórmula de Legendre resultaba mucho menos
precisa y para números mayores que 10000000 se desviaba mar-
cadamente.
Con la ayuda de modernos métodos de cálculo se comprobó
que la estimación de Gauss de los números primos menores que
10 se aparta del valor correcto en apenas una diezmillonésima
16
del 1 %, mientras que la estimación de Legendre multiplica por va-
rios miles de millones esta desviación. Podemos afirmar que la
estimación de Gauss, basada en razonamientos de tipo matemá-
tico, superó los ajustes de Legendre para hacer coincidir su fun-
ción con los datos disponibles hásta ese momento.
Además de esta primera conjetura, de que la función n(N)
podía ser estimada con precisión por L;(N) sin tener límites para
N, Gauss hizo una segunda, pues creía que la función L;(N) ternti-
naria por sobreestimar la cantidad real de números primos (siem-
pre en porcentajes infinitesimales) y que esta tendencia sería
uniforme. Esta segunda afirmación recibió el nombre de segunda
conjetura de Gauss. Y su demostración o refutación no era tarea
sencilla, habida cuenta de que los cálculos de los más modernos
112 PONIENDO ORDEN ENTRE LOS NÚMEROS PRIMOS